Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97933 / 100998
↖ ↑ ↗
← S 69.293085°
E 88.981018°		 ← 107.97 m → S 69.293085°
E 88.983764°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.294056°
E 88.981018°		 ← 107.97 m →
11 659 m²		 S 69.294056°
E 88.983764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747173309326172 y=0.770557403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747173309326172 × 217)
    floor (0.747173309326172 × 131072)
    floor (97933.5)     		tx = 97933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770557403564453 × 217)
    floor (0.770557403564453 × 131072)
    floor (100998.5)     		ty = 100998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97933 / 100998 ti = "17/97933/100998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97933/100998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97933 ÷ 217
    97933 ÷ 131072     		x = 0.747169494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100998 ÷ 217
    100998 ÷ 131072     		y = 0.770553588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747169494628906 × 2 - 1) × π
    0.494338989257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55301174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770553588867188 × 2 - 1) × π
    -0.541107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69993833432643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55301174} λ = 1.55301174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69993833432643))-π/2
    2×atan(0.182694789702644)-π/2
    2×0.180701925123438-π/2
    0.361403850246876-1.57079632675     		φ = -1.20939248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55301174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.981018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20939248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.293085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97933 KachelY 100998 1.55301174 -1.20939248 88.981018 -69.293085
    Oben rechts KachelX + 1 97934 KachelY 100998 1.55305967 -1.20939248 88.983764 -69.293085
    Unten links KachelX 97933 KachelY + 1 100999 1.55301174 -1.20940943 88.981018 -69.294056
    Unten rechts KachelX + 1 97934 KachelY + 1 100999 1.55305967 -1.20940943 88.983764 -69.294056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20939248--1.20940943) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20939248--1.20940943) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55301174-1.55305967) × cos(-1.20939248) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.353587741471334 × 6371000     		do = 107.972270518368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55301174-1.55305967) × cos(-1.20940943) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.353571886367446 × 6371000     		du = 107.967428971659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20939248)-sin(-1.20940943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353587741471334-0.353571886367446)×R²
    abs(1.55305967-1.55301174)×1.58551038879629e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.58551038879629e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.58551038879629e-05×40589641000000     		ar = 11659.4967210373m²