Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97932 / 102308
↖ ↑ ↗
← S 70.528560°
E 88.978271°		 ← 101.81 m → S 70.528560°
E 88.981018°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 70.529475°
E 88.978271°		 ← 101.81 m →
10 365 m²		 S 70.529475°
E 88.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747165679931641 y=0.780551910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747165679931641 × 217)
    floor (0.747165679931641 × 131072)
    floor (97932.5)     		tx = 97932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780551910400391 × 217)
    floor (0.780551910400391 × 131072)
    floor (102308.5)     		ty = 102308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97932 / 102308 ti = "17/97932/102308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97932/102308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97932 ÷ 217
    97932 ÷ 131072     		x = 0.747161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102308 ÷ 217
    102308 ÷ 131072     		y = 0.780548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747161865234375 × 2 - 1) × π
    0.49432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55296380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.56109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7627356728287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55296380} λ = 1.55296380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7627356728287))-π/2
    2×atan(0.171574848560892)-π/2
    2×0.169920371605851-π/2
    0.339840743211701-1.57079632675     		φ = -1.23095558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55296380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23095558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.528560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97932 KachelY 102308 1.55296380 -1.23095558 88.978271 -70.528560
    Oben rechts KachelX + 1 97933 KachelY 102308 1.55301174 -1.23095558 88.981018 -70.528560
    Unten links KachelX 97932 KachelY + 1 102309 1.55296380 -1.23097156 88.978271 -70.529475
    Unten rechts KachelX + 1 97933 KachelY + 1 102309 1.55301174 -1.23097156 88.981018 -70.529475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23095558--1.23097156) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23095558--1.23097156) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55296380-1.55301174) × cos(-1.23095558) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333336951210457 × 6371000     		do = 101.809684993203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55296380-1.55301174) × cos(-1.23097156) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.333321885099853 × 6371000     		du = 101.805083415222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23095558)-sin(-1.23097156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333336951210457-0.333321885099853)×R²
    abs(1.55301174-1.55296380)×1.50661106039229e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.50661106039229e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.50661106039229e-05×40589641000000     		ar = 10364.8652195808m²