Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97932 / 101042
↖ ↑ ↗
← S 69.335774°
E 88.978271°		 ← 107.78 m → S 69.335774°
E 88.981018°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
S 69.336743°
E 88.978271°		 ← 107.78 m →
11 611 m²		 S 69.336743°
E 88.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747165679931641 y=0.770893096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747165679931641 × 217)
    floor (0.747165679931641 × 131072)
    floor (97932.5)     		tx = 97932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770893096923828 × 217)
    floor (0.770893096923828 × 131072)
    floor (101042.5)     		ty = 101042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97932 / 101042 ti = "17/97932/101042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97932/101042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97932 ÷ 217
    97932 ÷ 131072     		x = 0.747161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101042 ÷ 217
    101042 ÷ 131072     		y = 0.770889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747161865234375 × 2 - 1) × π
    0.49432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55296380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770889282226562 × 2 - 1) × π
    -0.541778564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70204755790971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55296380} λ = 1.55296380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70204755790971))-π/2
    2×atan(0.182309851646583)-π/2
    2×0.18032939496938-π/2
    0.360658789938761-1.57079632675     		φ = -1.21013754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55296380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.978271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21013754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.335774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97932 KachelY 101042 1.55296380 -1.21013754 88.978271 -69.335774
    Oben rechts KachelX + 1 97933 KachelY 101042 1.55301174 -1.21013754 88.981018 -69.335774
    Unten links KachelX 97932 KachelY + 1 101043 1.55296380 -1.21015445 88.978271 -69.336743
    Unten rechts KachelX + 1 97933 KachelY + 1 101043 1.55301174 -1.21015445 88.981018 -69.336743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21013754--1.21015445) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21013754--1.21015445) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55296380-1.55301174) × cos(-1.21013754) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.352890713255804 × 6371000     		do = 107.78190723571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55296380-1.55301174) × cos(-1.21015445) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.352874891117861 × 6371000     		du = 107.777074747521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21013754)-sin(-1.21015445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352890713255804-0.352874891117861)×R²
    abs(1.55301174-1.55296380)×1.58221379431556e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58221379431556e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58221379431556e-05×40589641000000     		ar = 11611.4736487916m²