Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97931 / 102306
↖ ↑ ↗
← S 70.526728°
E 88.975525°		 ← 101.82 m → S 70.526728°
E 88.978271°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 70.527644°
E 88.975525°		 ← 101.81 m →
10 366 m²		 S 70.527644°
E 88.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747158050537109 y=0.780536651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747158050537109 × 217)
    floor (0.747158050537109 × 131072)
    floor (97931.5)     		tx = 97931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780536651611328 × 217)
    floor (0.780536651611328 × 131072)
    floor (102306.5)     		ty = 102306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97931 / 102306 ti = "17/97931/102306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97931/102306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97931 ÷ 217
    97931 ÷ 131072     		x = 0.747154235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102306 ÷ 217
    102306 ÷ 131072     		y = 0.780532836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747154235839844 × 2 - 1) × π
    0.494308471679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.55291586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780532836914062 × 2 - 1) × π
    -0.561065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76263979902946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55291586} λ = 1.55291586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76263979902946))-π/2
    2×atan(0.171591298882042)-π/2
    2×0.169936351467859-π/2
    0.339872702935718-1.57079632675     		φ = -1.23092362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55291586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.975525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23092362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.526728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97931 KachelY 102306 1.55291586 -1.23092362 88.975525 -70.526728
    Oben rechts KachelX + 1 97932 KachelY 102306 1.55296380 -1.23092362 88.978271 -70.526728
    Unten links KachelX 97931 KachelY + 1 102307 1.55291586 -1.23093960 88.975525 -70.527644
    Unten rechts KachelX + 1 97932 KachelY + 1 102307 1.55296380 -1.23093960 88.978271 -70.527644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23092362--1.23093960) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23092362--1.23093960) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55291586-1.55296380) × cos(-1.23092362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333367083176298 × 6371000     		do = 101.818888070696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55291586-1.55296380) × cos(-1.23093960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33335201723594 × 6371000     		du = 101.814286544713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23092362)-sin(-1.23093960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333367083176298-0.33335201723594)×R²
    abs(1.55296380-1.55291586)×1.50659403579945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50659403579945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50659403579945e-05×40589641000000     		ar = 10365.8021742447m²