Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97931 / 100999
↖ ↑ ↗
← S 69.294056°
E 88.975525°		 ← 107.99 m → S 69.294056°
E 88.978271°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
S 69.295027°
E 88.975525°		 ← 107.99 m →
11 655 m²		 S 69.295027°
E 88.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747158050537109 y=0.770565032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747158050537109 × 217)
    floor (0.747158050537109 × 131072)
    floor (97931.5)     		tx = 97931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770565032958984 × 217)
    floor (0.770565032958984 × 131072)
    floor (100999.5)     		ty = 100999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97931 / 100999 ti = "17/97931/100999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97931/100999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97931 ÷ 217
    97931 ÷ 131072     		x = 0.747154235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100999 ÷ 217
    100999 ÷ 131072     		y = 0.770561218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747154235839844 × 2 - 1) × π
    0.494308471679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.55291586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770561218261719 × 2 - 1) × π
    -0.541122436523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.69998627122605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55291586} λ = 1.55291586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69998627122605))-π/2
    2×atan(0.182686032090757)-π/2
    2×0.180693450363333-π/2
    0.361386900726666-1.57079632675     		φ = -1.20940943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55291586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.975525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20940943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.294056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97931 KachelY 100999 1.55291586 -1.20940943 88.975525 -69.294056
    Oben rechts KachelX + 1 97932 KachelY 100999 1.55296380 -1.20940943 88.978271 -69.294056
    Unten links KachelX 97931 KachelY + 1 101000 1.55291586 -1.20942637 88.975525 -69.295027
    Unten rechts KachelX + 1 97932 KachelY + 1 101000 1.55296380 -1.20942637 88.978271 -69.295027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20940943--1.20942637) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20940943--1.20942637) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55291586-1.55296380) × cos(-1.20940943) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353571886367446 × 6371000     		do = 107.989955036902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55291586-1.55296380) × cos(-1.20942637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353556040516109 × 6371000     		du = 107.985115306032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20940943)-sin(-1.20942637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353571886367446-0.353556040516109)×R²
    abs(1.55296380-1.55291586)×1.58458513366821e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58458513366821e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58458513366821e-05×40589641000000     		ar = 11654.5266570121m²