Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9793 / 5314
↖ ↑ ↗
← N 81.772072°
W126.205444°		 ← 87.42 m → N 81.772072°
W126.199951°		 →
↑
87.47 m
↓
↑
87.47 m
↓
N 81.771285°
W126.205444°		 ← 87.43 m →
7 647 m²		 N 81.771285°
W126.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149436950683594 y=0.0810928344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149436950683594 × 216)
    floor (0.149436950683594 × 65536)
    floor (9793.5)     		tx = 9793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0810928344726562 × 216)
    floor (0.0810928344726562 × 65536)
    floor (5314.5)     		ty = 5314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9793 / 5314 ti = "16/9793/5314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9793/5314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9793 ÷ 216
    9793 ÷ 65536     		x = 0.149429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5314 ÷ 216
    5314 ÷ 65536     		y = 0.081085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.701141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.20270054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081085205078125 × 2 - 1) × π
    0.83782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.63211928433804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20270054} λ = -2.20270054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63211928433804))-π/2
    2×atan(13.9032035435043)-π/2
    2×1.49899410608431-π/2
    2.99798821216862-1.57079632675     		φ = 1.42719189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20270054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.205444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42719189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.772072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9793 KachelY 5314 -2.20270054 1.42719189 -126.205444 81.772072
    Oben rechts KachelX + 1 9794 KachelY 5314 -2.20260466 1.42719189 -126.199951 81.772072
    Unten links KachelX 9793 KachelY + 1 5315 -2.20270054 1.42717816 -126.205444 81.771285
    Unten rechts KachelX + 1 9794 KachelY + 1 5315 -2.20260466 1.42717816 -126.199951 81.771285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42719189-1.42717816) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dl = 87.4738300002873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42719189-1.42717816) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dr = 87.4738300002873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20270054--2.20260466) × cos(1.42719189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14311137141884 × 6371000     		do = 87.4197930359706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20270054--2.20260466) × cos(1.42717816) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143124960076838 × 6371000     		du = 87.4280936878203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42719189)-sin(1.42717816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14311137141884-0.143124960076838)×R²
    abs(-2.20260466--2.20270054)×1.35886579986366e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.35886579986366e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.35886579986366e-05×40589641000000     		ar = 7647.3071598228m²