Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97929 / 100997
↖ ↑ ↗
← S 69.292114°
E 88.970032°		 ← 108 m → S 69.292114°
E 88.972779°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.293085°
E 88.970032°		 ← 107.99 m →
11 662 m²		 S 69.293085°
E 88.972779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747142791748047 y=0.770549774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747142791748047 × 217)
    floor (0.747142791748047 × 131072)
    floor (97929.5)     		tx = 97929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770549774169922 × 217)
    floor (0.770549774169922 × 131072)
    floor (100997.5)     		ty = 100997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97929 / 100997 ti = "17/97929/100997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97929/100997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97929 ÷ 217
    97929 ÷ 131072     		x = 0.747138977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100997 ÷ 217
    100997 ÷ 131072     		y = 0.770545959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747138977050781 × 2 - 1) × π
    0.494277954101562 × 3.1415926535     		Λ = 1.55281999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770545959472656 × 2 - 1) × π
    -0.541091918945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.69989039742681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55281999} λ = 1.55281999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69989039742681))-π/2
    2×atan(0.182703547734354)-π/2
    2×0.180710400263562-π/2
    0.361420800527125-1.57079632675     		φ = -1.20937553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55281999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.970032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20937553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.292114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97929 KachelY 100997 1.55281999 -1.20937553 88.970032 -69.292114
    Oben rechts KachelX + 1 97930 KachelY 100997 1.55286793 -1.20937553 88.972779 -69.292114
    Unten links KachelX 97929 KachelY + 1 100998 1.55281999 -1.20939248 88.970032 -69.293085
    Unten rechts KachelX + 1 97930 KachelY + 1 100998 1.55286793 -1.20939248 88.972779 -69.293085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20937553--1.20939248) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20937553--1.20939248) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55281999-1.55286793) × cos(-1.20937553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353603596473635 × 6371000     		do = 107.999640119551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55281999-1.55286793) × cos(-1.20939248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353587741471334 × 6371000     		du = 107.99479759374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20937553)-sin(-1.20939248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353603596473635-0.353587741471334)×R²
    abs(1.55286793-1.55281999)×1.58550023013349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58550023013349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58550023013349e-05×40589641000000     		ar = 11662.4522689588m²