Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97927 / 100994
↖ ↑ ↗
← S 69.289200°
E 88.964539°		 ← 107.99 m → S 69.289200°
E 88.967285°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.290171°
E 88.964539°		 ← 107.99 m →
11 662 m²		 S 69.290171°
E 88.967285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747127532958984 y=0.770526885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747127532958984 × 217)
    floor (0.747127532958984 × 131072)
    floor (97927.5)     		tx = 97927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770526885986328 × 217)
    floor (0.770526885986328 × 131072)
    floor (100994.5)     		ty = 100994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97927 / 100994 ti = "17/97927/100994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97927/100994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97927 ÷ 217
    97927 ÷ 131072     		x = 0.747123718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100994 ÷ 217
    100994 ÷ 131072     		y = 0.770523071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747123718261719 × 2 - 1) × π
    0.494247436523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.55272412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770523071289062 × 2 - 1) × π
    -0.541046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69974658672795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55272412} λ = 1.55272412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69974658672795))-π/2
    2×atan(0.182729824348621)-π/2
    2×0.180735827964194-π/2
    0.361471655928387-1.57079632675     		φ = -1.20932467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55272412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.964539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20932467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.289200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97927 KachelY 100994 1.55272412 -1.20932467 88.964539 -69.289200
    Oben rechts KachelX + 1 97928 KachelY 100994 1.55277205 -1.20932467 88.967285 -69.289200
    Unten links KachelX 97927 KachelY + 1 100995 1.55272412 -1.20934162 88.964539 -69.290171
    Unten rechts KachelX + 1 97928 KachelY + 1 100995 1.55277205 -1.20934162 88.967285 -69.290171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20932467--1.20934162) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20932467--1.20934162) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55272412-1.55277205) × cos(-1.20932467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353651170224748 × 6371000     		do = 107.991639251771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55272412-1.55277205) × cos(-1.20934162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353635315527294 × 6371000     		du = 107.986797829171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20932467)-sin(-1.20934162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353651170224748-0.353635315527294)×R²
    abs(1.55277205-1.55272412)×1.58546974541873e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58546974541873e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58546974541873e-05×40589641000000     		ar = 11661.5883271502m²