Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97926 / 100993
↖ ↑ ↗
← S 69.288228°
E 88.961792°		 ← 108.02 m → S 69.288228°
E 88.964539°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.289200°
E 88.961792°		 ← 108.01 m →
11 665 m²		 S 69.289200°
E 88.964539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747119903564453 y=0.770519256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747119903564453 × 217)
    floor (0.747119903564453 × 131072)
    floor (97926.5)     		tx = 97926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770519256591797 × 217)
    floor (0.770519256591797 × 131072)
    floor (100993.5)     		ty = 100993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97926 / 100993 ti = "17/97926/100993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97926/100993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97926 ÷ 217
    97926 ÷ 131072     		x = 0.747116088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100993 ÷ 217
    100993 ÷ 131072     		y = 0.770515441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747116088867188 × 2 - 1) × π
    0.494232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55267618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770515441894531 × 2 - 1) × π
    -0.541030883789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.69969864982833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55267618} λ = 1.55267618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69969864982833))-π/2
    2×atan(0.182738584059824)-π/2
    2×0.180744304624539-π/2
    0.361488609249078-1.57079632675     		φ = -1.20930772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55267618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.961792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20930772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.288228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97926 KachelY 100993 1.55267618 -1.20930772 88.961792 -69.288228
    Oben rechts KachelX + 1 97927 KachelY 100993 1.55272412 -1.20930772 88.964539 -69.288228
    Unten links KachelX 97926 KachelY + 1 100994 1.55267618 -1.20932467 88.961792 -69.289200
    Unten rechts KachelX + 1 97927 KachelY + 1 100994 1.55272412 -1.20932467 88.964539 -69.289200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20930772--1.20932467) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20930772--1.20932467) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55267618-1.55272412) × cos(-1.20930772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353667024820597 × 6371000     		do = 108.019012769358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55267618-1.55272412) × cos(-1.20932467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353651170224748 × 6371000     		du = 108.014170367689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20930772)-sin(-1.20932467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353667024820597-0.353651170224748)×R²
    abs(1.55272412-1.55267618)×1.58545958492406e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58545958492406e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58545958492406e-05×40589641000000     		ar = 11664.5442980112m²