Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97925 / 100992
↖ ↑ ↗
← S 69.287257°
E 88.959045°		 ← 108.02 m → S 69.287257°
E 88.961792°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
S 69.288228°
E 88.959045°		 ← 108.02 m →
11 672 m²		 S 69.288228°
E 88.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747112274169922 y=0.770511627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747112274169922 × 217)
    floor (0.747112274169922 × 131072)
    floor (97925.5)     		tx = 97925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770511627197266 × 217)
    floor (0.770511627197266 × 131072)
    floor (100992.5)     		ty = 100992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97925 / 100992 ti = "17/97925/100992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97925/100992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97925 ÷ 217
    97925 ÷ 131072     		x = 0.747108459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100992 ÷ 217
    100992 ÷ 131072     		y = 0.7705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747108459472656 × 2 - 1) × π
    0.494216918945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.55262824
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7705078125 × 2 - 1) × π
    -0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55262824} λ = 1.55262824}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69965071292871))-π/2
    2×atan(0.18274734419095)-π/2
    2×0.180752781664976-π/2
    0.361505563329953-1.57079632675     		φ = -1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55262824} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.959045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97925 KachelY 100992 1.55262824 -1.20929076 88.959045 -69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 97926 KachelY 100992 1.55267618 -1.20929076 88.961792 -69.287257
    Unten links KachelX 97925 KachelY + 1 100993 1.55262824 -1.20930772 88.959045 -69.288228
    Unten rechts KachelX + 1 97926 KachelY + 1 100993 1.55267618 -1.20930772 88.961792 -69.288228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20929076--1.20930772) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20929076--1.20930772) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55262824-1.55267618) × cos(-1.20929076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 108.023857996841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55262824-1.55267618) × cos(-1.20930772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353667024820597 × 6371000     		du = 108.019012769358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20929076)-sin(-1.20930772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.353667024820597)×R²
    abs(1.55267618-1.55262824)×1.58638478937601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58638478937601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58638478937601e-05×40589641000000     		ar = 11671.9494197689m²