Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97919 / 101255
↖ ↑ ↗
← S 69.541239°
E 88.942566°		 ← 106.76 m → S 69.541239°
E 88.945313°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
S 69.542199°
E 88.942566°		 ← 106.75 m →
11 399 m²		 S 69.542199°
E 88.945313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747066497802734 y=0.772518157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747066497802734 × 217)
    floor (0.747066497802734 × 131072)
    floor (97919.5)     		tx = 97919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772518157958984 × 217)
    floor (0.772518157958984 × 131072)
    floor (101255.5)     		ty = 101255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97919 / 101255 ti = "17/97919/101255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97919/101255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97919 ÷ 217
    97919 ÷ 131072     		x = 0.747062683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101255 ÷ 217
    101255 ÷ 131072     		y = 0.772514343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747062683105469 × 2 - 1) × π
    0.494125366210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.55234062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.772514343261719 × 2 - 1) × π
    -0.545028686523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71225811752879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55234062} λ = 1.55234062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71225811752879))-π/2
    2×atan(0.180457837179468)-π/2
    2×0.178536371595987-π/2
    0.357072743191975-1.57079632675     		φ = -1.21372358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55234062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.942566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21372358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.541239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97919 KachelY 101255 1.55234062 -1.21372358 88.942566 -69.541239
    Oben rechts KachelX + 1 97920 KachelY 101255 1.55238856 -1.21372358 88.945313 -69.541239
    Unten links KachelX 97919 KachelY + 1 101256 1.55234062 -1.21374034 88.942566 -69.542199
    Unten rechts KachelX + 1 97920 KachelY + 1 101256 1.55238856 -1.21374034 88.945313 -69.542199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21372358--1.21374034) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21372358--1.21374034) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55234062-1.55238856) × cos(-1.21372358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349533120926218 × 6371000     		do = 106.75641211333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55234062-1.55238856) × cos(-1.21374034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.349517418030748 × 6371000     		du = 106.75161604486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21372358)-sin(-1.21374034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349533120926218-0.349517418030748)×R²
    abs(1.55238856-1.55234062)×1.57028954703708e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57028954703708e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57028954703708e-05×40589641000000     		ar = 11398.9758454594m²