Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97917 / 101020
↖ ↑ ↗
← S 69.314440°
E 88.937073°		 ← 107.87 m → S 69.314440°
E 88.939819°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 69.315410°
E 88.937073°		 ← 107.86 m →
11 634 m²		 S 69.315410°
E 88.939819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747051239013672 y=0.770725250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747051239013672 × 217)
    floor (0.747051239013672 × 131072)
    floor (97917.5)     		tx = 97917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770725250244141 × 217)
    floor (0.770725250244141 × 131072)
    floor (101020.5)     		ty = 101020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97917 / 101020 ti = "17/97917/101020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97917/101020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97917 ÷ 217
    97917 ÷ 131072     		x = 0.747047424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101020 ÷ 217
    101020 ÷ 131072     		y = 0.770721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747047424316406 × 2 - 1) × π
    0.494094848632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55224475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.54144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70099294611807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55224475} λ = 1.55224475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70099294611807))-π/2
    2×atan(0.18250221918457)-π/2
    2×0.180515568159602-π/2
    0.361031136319203-1.57079632675     		φ = -1.20976519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55224475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.937073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20976519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.314440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97917 KachelY 101020 1.55224475 -1.20976519 88.937073 -69.314440
    Oben rechts KachelX + 1 97918 KachelY 101020 1.55229268 -1.20976519 88.939819 -69.314440
    Unten links KachelX 97917 KachelY + 1 101021 1.55224475 -1.20978212 88.937073 -69.315410
    Unten rechts KachelX + 1 97918 KachelY + 1 101021 1.55229268 -1.20978212 88.939819 -69.315410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20976519--1.20978212) × R
    1.69300000001371e-05 × 6371000     		dl = 107.861030000874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20976519--1.20978212) × R
    1.69300000001371e-05 × 6371000     		dr = 107.861030000874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55224475-1.55229268) × cos(-1.20976519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353239083478644 × 6371000     		do = 107.865803606444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55224475-1.55229268) × cos(-1.20978212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353223244852921 × 6371000     		du = 107.860967091541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20976519)-sin(-1.20978212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353239083478644-0.353223244852921)×R²
    abs(1.55229268-1.55224475)×1.58386257227972e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58386257227972e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58386257227972e-05×40589641000000     		ar = 11634.2558434338m²