Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97916 / 102221
↖ ↑ ↗
← S 70.448751°
E 88.934326°		 ← 102.21 m → S 70.448751°
E 88.937073°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.449670°
E 88.934326°		 ← 102.21 m →
10 445 m²		 S 70.449670°
E 88.937073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747043609619141 y=0.779888153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747043609619141 × 217)
    floor (0.747043609619141 × 131072)
    floor (97916.5)     		tx = 97916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779888153076172 × 217)
    floor (0.779888153076172 × 131072)
    floor (102221.5)     		ty = 102221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97916 / 102221 ti = "17/97916/102221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97916/102221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97916 ÷ 217
    97916 ÷ 131072     		x = 0.747039794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102221 ÷ 217
    102221 ÷ 131072     		y = 0.779884338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    0.49407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55219681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779884338378906 × 2 - 1) × π
    -0.559768676757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75856516256176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55219681} λ = 1.55219681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75856516256176))-π/2
    2×atan(0.172291897418865)-π/2
    2×0.170616832303698-π/2
    0.341233664607395-1.57079632675     		φ = -1.22956266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55219681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22956266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.448751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97916 KachelY 102221 1.55219681 -1.22956266 88.934326 -70.448751
    Oben rechts KachelX + 1 97917 KachelY 102221 1.55224475 -1.22956266 88.937073 -70.448751
    Unten links KachelX 97916 KachelY + 1 102222 1.55219681 -1.22957870 88.934326 -70.449670
    Unten rechts KachelX + 1 97917 KachelY + 1 102222 1.55224475 -1.22957870 88.937073 -70.449670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22956266--1.22957870) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22956266--1.22957870) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55219681-1.55224475) × cos(-1.22956266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334649883199798 × 6371000     		do = 102.210688217145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55219681-1.55224475) × cos(-1.22957870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334634767982467 × 6371000     		du = 102.206071640706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22956266)-sin(-1.22957870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334649883199798-0.334634767982467)×R²
    abs(1.55224475-1.55219681)×1.511521733083e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.511521733083e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.511521733083e-05×40589641000000     		ar = 10444.7602002062m²