Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97915 / 101019
↖ ↑ ↗
← S 69.313470°
E 88.931579°		 ← 107.89 m → S 69.313470°
E 88.934326°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
S 69.314440°
E 88.931579°		 ← 107.89 m →
11 637 m²		 S 69.314440°
E 88.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747035980224609 y=0.770717620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747035980224609 × 217)
    floor (0.747035980224609 × 131072)
    floor (97915.5)     		tx = 97915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770717620849609 × 217)
    floor (0.770717620849609 × 131072)
    floor (101019.5)     		ty = 101019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97915 / 101019 ti = "17/97915/101019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97915/101019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97915 ÷ 217
    97915 ÷ 131072     		x = 0.747032165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101019 ÷ 217
    101019 ÷ 131072     		y = 0.770713806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747032165527344 × 2 - 1) × π
    0.494064331054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.55214887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770713806152344 × 2 - 1) × π
    -0.541427612304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.70094500921845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55214887} λ = 1.55214887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70094500921845))-π/2
    2×atan(0.182510967984825)-π/2
    2×0.180524034942686-π/2
    0.361048069885371-1.57079632675     		φ = -1.20974826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55214887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.931579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20974826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.313470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97915 KachelY 101019 1.55214887 -1.20974826 88.931579 -69.313470
    Oben rechts KachelX + 1 97916 KachelY 101019 1.55219681 -1.20974826 88.934326 -69.313470
    Unten links KachelX 97915 KachelY + 1 101020 1.55214887 -1.20976519 88.931579 -69.314440
    Unten rechts KachelX + 1 97916 KachelY + 1 101020 1.55219681 -1.20976519 88.934326 -69.314440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20974826--1.20976519) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20974826--1.20976519) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55214887-1.55219681) × cos(-1.20974826) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.35325492200312 × 6371000     		do = 107.893145961874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55214887-1.55219681) × cos(-1.20976519) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353239083478644 × 6371000     		du = 107.888308468816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20974826)-sin(-1.20976519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35325492200312-0.353239083478644)×R²
    abs(1.55219681-1.55214887)×1.58385244754533e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58385244754533e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58385244754533e-05×40589641000000     		ar = 11637.204965053m²