Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97914 / 102303
↖ ↑ ↗
← S 70.523982°
E 88.928833°		 ← 101.81 m → S 70.523982°
E 88.931579°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 70.524897°
E 88.928833°		 ← 101.81 m →
10 365 m²		 S 70.524897°
E 88.931579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747028350830078 y=0.780513763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747028350830078 × 217)
    floor (0.747028350830078 × 131072)
    floor (97914.5)     		tx = 97914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780513763427734 × 217)
    floor (0.780513763427734 × 131072)
    floor (102303.5)     		ty = 102303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97914 / 102303 ti = "17/97914/102303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97914/102303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97914 ÷ 217
    97914 ÷ 131072     		x = 0.747024536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102303 ÷ 217
    102303 ÷ 131072     		y = 0.780509948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.747024536132812 × 2 - 1) × π
    0.494049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55210094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780509948730469 × 2 - 1) × π
    -0.561019897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7624959883306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55210094} λ = 1.55210094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7624959883306))-π/2
    2×atan(0.171615977321122)-π/2
    2×0.169960323969304-π/2
    0.339920647938607-1.57079632675     		φ = -1.23087568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55210094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.928833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23087568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.523982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97914 KachelY 102303 1.55210094 -1.23087568 88.928833 -70.523982
    Oben rechts KachelX + 1 97915 KachelY 102303 1.55214887 -1.23087568 88.931579 -70.523982
    Unten links KachelX 97914 KachelY + 1 102304 1.55210094 -1.23089166 88.928833 -70.524897
    Unten rechts KachelX + 1 97915 KachelY + 1 102304 1.55214887 -1.23089166 88.931579 -70.524897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23087568--1.23089166) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23087568--1.23089166) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55210094-1.55214887) × cos(-1.23087568) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333412280486584 × 6371000     		do = 101.811450795903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55210094-1.55214887) × cos(-1.23089166) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.333397214801624 × 6371000     		du = 101.806850307761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23087568)-sin(-1.23089166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333412280486584-0.333397214801624)×R²
    abs(1.55214887-1.55210094)×1.50656849601805e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.50656849601805e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.50656849601805e-05×40589641000000     		ar = 10365.045048856m²