Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97912 / 102231
↖ ↑ ↗
← S 70.457941°
E 88.923340°		 ← 102.16 m → S 70.457941°
E 88.926086°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.458859°
E 88.923340°		 ← 102.16 m →
10 434 m²		 S 70.458859°
E 88.926086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747013092041016 y=0.779964447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747013092041016 × 217)
    floor (0.747013092041016 × 131072)
    floor (97912.5)     		tx = 97912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779964447021484 × 217)
    floor (0.779964447021484 × 131072)
    floor (102231.5)     		ty = 102231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97912 / 102231 ti = "17/97912/102231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97912/102231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97912 ÷ 217
    97912 ÷ 131072     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102231 ÷ 217
    102231 ÷ 131072     		y = 0.779960632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779960632324219 × 2 - 1) × π
    -0.559921264648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75904453155796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75904453155796))-π/2
    2×atan(0.17220932581766)-π/2
    2×0.170536640029225-π/2
    0.34107328005845-1.57079632675     		φ = -1.22972305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22972305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.457941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97912 KachelY 102231 1.55200506 -1.22972305 88.923340 -70.457941
    Oben rechts KachelX + 1 97913 KachelY 102231 1.55205300 -1.22972305 88.926086 -70.457941
    Unten links KachelX 97912 KachelY + 1 102232 1.55200506 -1.22973908 88.923340 -70.458859
    Unten rechts KachelX + 1 97913 KachelY + 1 102232 1.55205300 -1.22973908 88.926086 -70.458859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22972305--1.22973908) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22972305--1.22973908) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.22972305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334498736576626 × 6371000     		do = 102.164524147914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.22973908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334483629922586 × 6371000     		du = 102.159910186925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22972305)-sin(-1.22973908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334498736576626-0.334483629922586)×R²
    abs(1.55205300-1.55200506)×1.51066540403089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51066540403089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51066540403089e-05×40589641000000     		ar = 10433.5340339987m²