Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97912 / 101031
↖ ↑ ↗
← S 69.325109°
E 88.923340°		 ← 107.84 m → S 69.325109°
E 88.926086°		 →
↑
107.80 m
↓
↑
107.80 m
↓
S 69.326079°
E 88.923340°		 ← 107.83 m →
11 624 m²		 S 69.326079°
E 88.926086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747013092041016 y=0.770809173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747013092041016 × 217)
    floor (0.747013092041016 × 131072)
    floor (97912.5)     		tx = 97912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770809173583984 × 217)
    floor (0.770809173583984 × 131072)
    floor (101031.5)     		ty = 101031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97912 / 101031 ti = "17/97912/101031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97912/101031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97912 ÷ 217
    97912 ÷ 131072     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101031 ÷ 217
    101031 ÷ 131072     		y = 0.770805358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770805358886719 × 2 - 1) × π
    -0.541610717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.70152025201389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70152025201389))-π/2
    2×atan(0.182406010056443)-π/2
    2×0.180422458602505-π/2
    0.360844917205011-1.57079632675     		φ = -1.20995141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20995141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.325109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97912 KachelY 101031 1.55200506 -1.20995141 88.923340 -69.325109
    Oben rechts KachelX + 1 97913 KachelY 101031 1.55205300 -1.20995141 88.926086 -69.325109
    Unten links KachelX 97912 KachelY + 1 101032 1.55200506 -1.20996833 88.923340 -69.326079
    Unten rechts KachelX + 1 97913 KachelY + 1 101032 1.55205300 -1.20996833 88.926086 -69.326079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20995141--1.20996833) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dl = 107.797319999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20995141--1.20996833) × R
    1.69199999999758e-05 × 6371000     		dr = 107.797319999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.20995141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353064862384091 × 6371000     		do = 107.835096861588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.20996833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353049032001057 × 6371000     		du = 107.830261855136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20995141)-sin(-1.20996833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353064862384091-0.353049032001057)×R²
    abs(1.55205300-1.55200506)×1.58303830333217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58303830333217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58303830333217e-05×40589641000000     		ar = 11624.0738434563m²