Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97912 / 100991
↖ ↑ ↗
← S 69.286286°
E 88.923340°		 ← 108.03 m → S 69.286286°
E 88.926086°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
S 69.287257°
E 88.923340°		 ← 108.02 m →
11 666 m²		 S 69.287257°
E 88.926086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.747013092041016 y=0.770503997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.747013092041016 × 217)
    floor (0.747013092041016 × 131072)
    floor (97912.5)     		tx = 97912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770503997802734 × 217)
    floor (0.770503997802734 × 131072)
    floor (100991.5)     		ty = 100991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97912 / 100991 ti = "17/97912/100991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97912/100991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97912 ÷ 217
    97912 ÷ 131072     		x = 0.74700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100991 ÷ 217
    100991 ÷ 131072     		y = 0.770500183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    0.4940185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55200506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770500183105469 × 2 - 1) × π
    -0.541000366210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.69960277602909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55200506} λ = 1.55200506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69960277602909))-π/2
    2×atan(0.182756104742019)-π/2
    2×0.18076125908552-π/2
    0.36152251817104-1.57079632675     		φ = -1.20927381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55200506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20927381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.286286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97912 KachelY 100991 1.55200506 -1.20927381 88.923340 -69.286286
    Oben rechts KachelX + 1 97913 KachelY 100991 1.55205300 -1.20927381 88.926086 -69.286286
    Unten links KachelX 97912 KachelY + 1 100992 1.55200506 -1.20929076 88.923340 -69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 97913 KachelY + 1 100992 1.55205300 -1.20929076 88.926086 -69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20927381--1.20929076) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20927381--1.20929076) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.20927381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353698743061057 × 6371000     		do = 108.028700336422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55200506-1.55205300) × cos(-1.20929076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 108.023857996841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20927381)-sin(-1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353698743061057-0.353682888668491)×R²
    abs(1.55205300-1.55200506)×1.5854392565906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5854392565906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5854392565906e-05×40589641000000     		ar = 11665.5904465869m²