Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9791 / 5315
↖ ↑ ↗
← N 81.771285°
W126.216431°		 ← 87.43 m → N 81.771285°
W126.210937°		 →
↑
87.41 m
↓
↑
87.41 m
↓
N 81.770499°
W126.216431°		 ← 87.44 m →
7 642 m²		 N 81.770499°
W126.210937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.149406433105469 y=0.0811080932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.149406433105469 × 216)
    floor (0.149406433105469 × 65536)
    floor (9791.5)     		tx = 9791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0811080932617188 × 216)
    floor (0.0811080932617188 × 65536)
    floor (5315.5)     		ty = 5315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9791 / 5315 ti = "16/9791/5315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9791/5315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9791 ÷ 216
    9791 ÷ 65536     		x = 0.149398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5315 ÷ 216
    5315 ÷ 65536     		y = 0.0811004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.149398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.701202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.20289229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0811004638671875 × 2 - 1) × π
    0.837799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.6320234105388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.20289229} λ = -2.20289229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6320234105388))-π/2
    2×atan(13.9018706544545)-π/2
    2×1.49898724544316-π/2
    2.99797449088632-1.57079632675     		φ = 1.42717816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.20289229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42717816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.771285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9791 KachelY 5315 -2.20289229 1.42717816 -126.216431 81.771285
    Oben rechts KachelX + 1 9792 KachelY 5315 -2.20279641 1.42717816 -126.210937 81.771285
    Unten links KachelX 9791 KachelY + 1 5316 -2.20289229 1.42716444 -126.216431 81.770499
    Unten rechts KachelX + 1 9792 KachelY + 1 5316 -2.20279641 1.42716444 -126.210937 81.770499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42717816-1.42716444) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dl = 87.4101199992598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42717816-1.42716444) × R
    1.37199999998838e-05 × 6371000     		dr = 87.4101199992598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.20289229--2.20279641) × cos(1.42717816) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143124960076838 × 6371000     		do = 87.4280936878203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.20289229--2.20279641) × cos(1.42716444) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143138538810829 × 6371000     		du = 87.4363882775752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42717816)-sin(1.42716444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143124960076838-0.143138538810829)×R²
    abs(-2.20279641--2.20289229)×1.35787339909932e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.35787339909932e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.35787339909932e-05×40589641000000     		ar = 7642.46267636261m²