Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97909 / 101105
↖ ↑ ↗
← S 69.396750°
E 88.915100°		 ← 107.48 m → S 69.396750°
E 88.917847°		 →
↑
107.48 m
↓
↑
107.48 m
↓
S 69.397716°
E 88.915100°		 ← 107.47 m →
11 551 m²		 S 69.397716°
E 88.917847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746990203857422 y=0.771373748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746990203857422 × 217)
    floor (0.746990203857422 × 131072)
    floor (97909.5)     		tx = 97909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771373748779297 × 217)
    floor (0.771373748779297 × 131072)
    floor (101105.5)     		ty = 101105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97909 / 101105 ti = "17/97909/101105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97909/101105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97909 ÷ 217
    97909 ÷ 131072     		x = 0.746986389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101105 ÷ 217
    101105 ÷ 131072     		y = 0.771369934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746986389160156 × 2 - 1) × π
    0.493972778320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.55186125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771369934082031 × 2 - 1) × π
    -0.542739868164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70506758258578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55186125} λ = 1.55186125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70506758258578))-π/2
    2×atan(0.181760101942592)-π/2
    2×0.179797277898263-π/2
    0.359594555796525-1.57079632675     		φ = -1.21120177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55186125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.915100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21120177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.396750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97909 KachelY 101105 1.55186125 -1.21120177 88.915100 -69.396750
    Oben rechts KachelX + 1 97910 KachelY 101105 1.55190919 -1.21120177 88.917847 -69.396750
    Unten links KachelX 97909 KachelY + 1 101106 1.55186125 -1.21121864 88.915100 -69.397716
    Unten rechts KachelX + 1 97910 KachelY + 1 101106 1.55190919 -1.21121864 88.917847 -69.397716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21120177--1.21121864) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dl = 107.478770000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21120177--1.21121864) × R
    1.68700000000577e-05 × 6371000     		dr = 107.478770000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55186125-1.55190919) × cos(-1.21120177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351894751323491 × 6371000     		do = 107.477714825023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55186125-1.55190919) × cos(-1.21121864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351878960285805 × 6371000     		du = 107.472891835652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21120177)-sin(-1.21121864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351894751323491-0.351878960285805)×R²
    abs(1.55190919-1.55186125)×1.57910376858417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57910376858417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57910376858417e-05×40589641000000     		ar = 11551.3134075875m²