Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97907 / 102290
↖ ↑ ↗
← S 70.512073°
E 88.909607°		 ← 101.87 m → S 70.512073°
E 88.912353°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
S 70.512989°
E 88.909607°		 ← 101.87 m →
10 378 m²		 S 70.512989°
E 88.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746974945068359 y=0.780414581298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746974945068359 × 217)
    floor (0.746974945068359 × 131072)
    floor (97907.5)     		tx = 97907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780414581298828 × 217)
    floor (0.780414581298828 × 131072)
    floor (102290.5)     		ty = 102290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97907 / 102290 ti = "17/97907/102290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97907/102290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97907 ÷ 217
    97907 ÷ 131072     		x = 0.746971130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102290 ÷ 217
    102290 ÷ 131072     		y = 0.780410766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746971130371094 × 2 - 1) × π
    0.493942260742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.55176538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780410766601562 × 2 - 1) × π
    -0.560821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76187280863554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55176538} λ = 1.55176538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76187280863554))-π/2
    2×atan(0.171722958244244)-π/2
    2×0.170064242374722-π/2
    0.340128484749443-1.57079632675     		φ = -1.23066784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55176538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.909607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23066784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.512073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97907 KachelY 102290 1.55176538 -1.23066784 88.909607 -70.512073
    Oben rechts KachelX + 1 97908 KachelY 102290 1.55181331 -1.23066784 88.912353 -70.512073
    Unten links KachelX 97907 KachelY + 1 102291 1.55176538 -1.23068383 88.909607 -70.512989
    Unten rechts KachelX + 1 97908 KachelY + 1 102291 1.55181331 -1.23068383 88.912353 -70.512989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23066784--1.23068383) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dl = 101.872290000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23066784--1.23068383) × R
    1.59900000000768e-05 × 6371000     		dr = 101.872290000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55176538-1.55181331) × cos(-1.23066784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333608220913083 × 6371000     		do = 101.87128356277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55176538-1.55181331) × cos(-1.23068383) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333593146908609 × 6371000     		du = 101.866680534163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23066784)-sin(-1.23068383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333608220913083-0.333593146908609)×R²
    abs(1.55181331-1.55176538)×1.50740044747577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50740044747577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50740044747577e-05×40589641000000     		ar = 10377.6264815203m²