Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97906 / 102192
↖ ↑ ↗
← S 70.422079°
E 88.906860°		 ← 102.34 m → S 70.422079°
E 88.909607°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.422999°
E 88.906860°		 ← 102.34 m →
10 471 m²		 S 70.422999°
E 88.909607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746967315673828 y=0.779666900634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746967315673828 × 217)
    floor (0.746967315673828 × 131072)
    floor (97906.5)     		tx = 97906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779666900634766 × 217)
    floor (0.779666900634766 × 131072)
    floor (102192.5)     		ty = 102192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97906 / 102192 ti = "17/97906/102192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97906/102192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97906 ÷ 217
    97906 ÷ 131072     		x = 0.746963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102192 ÷ 217
    102192 ÷ 131072     		y = 0.7796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    0.493927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55171744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75717499247278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55171744} λ = 1.55171744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75717499247278))-π/2
    2×atan(0.172531579021728)-π/2
    2×0.170849594850909-π/2
    0.341699189701818-1.57079632675     		φ = -1.22909714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55171744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.906860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22909714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.422079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97906 KachelY 102192 1.55171744 -1.22909714 88.906860 -70.422079
    Oben rechts KachelX + 1 97907 KachelY 102192 1.55176538 -1.22909714 88.909607 -70.422079
    Unten links KachelX 97906 KachelY + 1 102193 1.55171744 -1.22911320 88.906860 -70.422999
    Unten rechts KachelX + 1 97907 KachelY + 1 102193 1.55176538 -1.22911320 88.909607 -70.422999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22909714--1.22911320) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22909714--1.22911320) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55171744-1.55176538) × cos(-1.22909714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335088526220642 × 6371000     		do = 102.344661086382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55171744-1.55176538) × cos(-1.22911320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335073394659863 × 6371000     		du = 102.340039518234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22909714)-sin(-1.22911320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335088526220642-0.335073394659863)×R²
    abs(1.55176538-1.55171744)×1.51315607793134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51315607793134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51315607793134e-05×40589641000000     		ar = 10471.4912074338m²