Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97906 / 101006
↖ ↑ ↗
← S 69.300852°
E 88.906860°		 ← 107.96 m → S 69.300852°
E 88.909607°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
S 69.301823°
E 88.906860°		 ← 107.95 m →
11 651 m²		 S 69.301823°
E 88.909607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746967315673828 y=0.770618438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746967315673828 × 217)
    floor (0.746967315673828 × 131072)
    floor (97906.5)     		tx = 97906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770618438720703 × 217)
    floor (0.770618438720703 × 131072)
    floor (101006.5)     		ty = 101006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97906 / 101006 ti = "17/97906/101006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97906/101006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97906 ÷ 217
    97906 ÷ 131072     		x = 0.746963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101006 ÷ 217
    101006 ÷ 131072     		y = 0.770614624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746963500976562 × 2 - 1) × π
    0.493927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55171744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770614624023438 × 2 - 1) × π
    -0.541229248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70032182952339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55171744} λ = 1.55171744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70032182952339))-π/2
    2×atan(0.182624740560896)-π/2
    2×0.180634137681895-π/2
    0.361268275363791-1.57079632675     		φ = -1.20952805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55171744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.906860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20952805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.300852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97906 KachelY 101006 1.55171744 -1.20952805 88.906860 -69.300852
    Oben rechts KachelX + 1 97907 KachelY 101006 1.55176538 -1.20952805 88.909607 -69.300852
    Unten links KachelX 97906 KachelY + 1 101007 1.55171744 -1.20954499 88.906860 -69.301823
    Unten rechts KachelX + 1 97907 KachelY + 1 101007 1.55176538 -1.20954499 88.909607 -69.301823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20952805--1.20954499) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dl = 107.924739999072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20952805--1.20954499) × R
    1.69399999998543e-05 × 6371000     		dr = 107.924739999072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55171744-1.55176538) × cos(-1.20952805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353460925859666 × 6371000     		do = 107.956064841703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55171744-1.55176538) × cos(-1.20954499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353445079297981 × 6371000     		du = 107.951224893874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20952805)-sin(-1.20954499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353460925859666-0.353445079297981)×R²
    abs(1.55176538-1.55171744)×1.58465616844627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58465616844627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58465616844627e-05×40589641000000     		ar = 11650.8690544619m²