Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97904 / 102244
↖ ↑ ↗
← S 70.469881°
E 88.901367°		 ← 102.08 m → S 70.469881°
E 88.904114°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.470798°
E 88.901367°		 ← 102.08 m →
10 419 m²		 S 70.470798°
E 88.904114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746952056884766 y=0.780063629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746952056884766 × 217)
    floor (0.746952056884766 × 131072)
    floor (97904.5)     		tx = 97904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780063629150391 × 217)
    floor (0.780063629150391 × 131072)
    floor (102244.5)     		ty = 102244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97904 / 102244 ti = "17/97904/102244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97904/102244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97904 ÷ 217
    97904 ÷ 131072     		x = 0.7469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102244 ÷ 217
    102244 ÷ 131072     		y = 0.780059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7469482421875 × 2 - 1) × π
    0.493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55162157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.56011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75966771125302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55162157} λ = 1.55162157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75966771125302))-π/2
    2×atan(0.172102041894563)-π/2
    2×0.170432444217858-π/2
    0.340864888435717-1.57079632675     		φ = -1.22993144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55162157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22993144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.469881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97904 KachelY 102244 1.55162157 -1.22993144 88.901367 -70.469881
    Oben rechts KachelX + 1 97905 KachelY 102244 1.55166950 -1.22993144 88.904114 -70.469881
    Unten links KachelX 97904 KachelY + 1 102245 1.55162157 -1.22994746 88.901367 -70.470798
    Unten rechts KachelX + 1 97905 KachelY + 1 102245 1.55166950 -1.22994746 88.904114 -70.470798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22993144--1.22994746) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dl = 102.063419999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22993144--1.22994746) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dr = 102.063419999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55162157-1.55166950) × cos(-1.22993144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334302343371175 × 6371000     		do = 102.083242205641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55162157-1.55166950) × cos(-1.22994746) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33428724502481 × 6371000     		du = 102.078631743946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22993144)-sin(-1.22994746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334302343371175-0.33428724502481)×R²
    abs(1.55166950-1.55162157)×1.50983463647614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50983463647614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50983463647614e-05×40589641000000     		ar = 10418.7295446578m²