Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97902 / 100979
↖ ↑ ↗
← S 69.274625°
E 88.895874°		 ← 108.09 m → S 69.274625°
E 88.898621°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
S 69.275597°
E 88.895874°		 ← 108.08 m →
11 686 m²		 S 69.275597°
E 88.898621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746936798095703 y=0.770412445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746936798095703 × 217)
    floor (0.746936798095703 × 131072)
    floor (97902.5)     		tx = 97902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770412445068359 × 217)
    floor (0.770412445068359 × 131072)
    floor (100979.5)     		ty = 100979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97902 / 100979 ti = "17/97902/100979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97902/100979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97902 ÷ 217
    97902 ÷ 131072     		x = 0.746932983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100979 ÷ 217
    100979 ÷ 131072     		y = 0.770408630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746932983398438 × 2 - 1) × π
    0.493865966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55152569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770408630371094 × 2 - 1) × π
    -0.540817260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.69902753323365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55152569} λ = 1.55152569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69902753323365))-π/2
    2×atan(0.182861264117781)-π/2
    2×0.180863017785664-π/2
    0.361726035571328-1.57079632675     		φ = -1.20907029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55152569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.895874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20907029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.274625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97902 KachelY 100979 1.55152569 -1.20907029 88.895874 -69.274625
    Oben rechts KachelX + 1 97903 KachelY 100979 1.55157363 -1.20907029 88.898621 -69.274625
    Unten links KachelX 97902 KachelY + 1 100980 1.55152569 -1.20908726 88.895874 -69.275597
    Unten rechts KachelX + 1 97903 KachelY + 1 100980 1.55157363 -1.20908726 88.898621 -69.275597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20907029--1.20908726) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20907029--1.20908726) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55152569-1.55157363) × cos(-1.20907029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353889100078789 × 6371000     		do = 108.086840269427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55152569-1.55157363) × cos(-1.20908726) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353873228200798 × 6371000     		du = 108.081992589347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20907029)-sin(-1.20908726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353889100078789-0.353873228200798)×R²
    abs(1.55157363-1.55152569)×1.58718779908473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58718779908473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58718779908473e-05×40589641000000     		ar = 11685.6407157749m²