Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97900 / 102250
↖ ↑ ↗
← S 70.475389°
E 88.890381°		 ← 102.08 m → S 70.475389°
E 88.893128°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.476307°
E 88.890381°		 ← 102.07 m →
10 418 m²		 S 70.476307°
E 88.893128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746921539306641 y=0.780109405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746921539306641 × 217)
    floor (0.746921539306641 × 131072)
    floor (97900.5)     		tx = 97900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780109405517578 × 217)
    floor (0.780109405517578 × 131072)
    floor (102250.5)     		ty = 102250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97900 / 102250 ti = "17/97900/102250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97900/102250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97900 ÷ 217
    97900 ÷ 131072     		x = 0.746917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102250 ÷ 217
    102250 ÷ 131072     		y = 0.780105590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746917724609375 × 2 - 1) × π
    0.49383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.55142982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780105590820312 × 2 - 1) × π
    -0.560211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75995533265074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55142982} λ = 1.55142982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75995533265074))-π/2
    2×atan(0.172052548782703)-π/2
    2×0.170384374479586-π/2
    0.340768748959172-1.57079632675     		φ = -1.23002758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55142982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23002758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.475389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97900 KachelY 102250 1.55142982 -1.23002758 88.890381 -70.475389
    Oben rechts KachelX + 1 97901 KachelY 102250 1.55147776 -1.23002758 88.893128 -70.475389
    Unten links KachelX 97900 KachelY + 1 102251 1.55142982 -1.23004360 88.890381 -70.476307
    Unten rechts KachelX + 1 97901 KachelY + 1 102251 1.55147776 -1.23004360 88.893128 -70.476307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23002758--1.23004360) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dl = 102.063419999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23002758--1.23004360) × R
    1.60199999998945e-05 × 6371000     		dr = 102.063419999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55142982-1.55147776) × cos(-1.23002758) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334211733156229 × 6371000     		do = 102.076865915857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55142982-1.55147776) × cos(-1.23004360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334196634295065 × 6371000     		du = 102.072254335013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23002758)-sin(-1.23004360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334211733156229-0.334196634295065)×R²
    abs(1.55147776-1.55142982)×1.50988611634095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50988611634095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50988611634095e-05×40589641000000     		ar = 10418.0787016457m²