Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97899 / 101114
↖ ↑ ↗
← S 69.405446°
E 88.887634°		 ← 107.43 m → S 69.405446°
E 88.890381°		 →
↑
107.42 m
↓
↑
107.42 m
↓
S 69.406412°
E 88.887634°		 ← 107.43 m →
11 540 m²		 S 69.406412°
E 88.890381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746913909912109 y=0.771442413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746913909912109 × 217)
    floor (0.746913909912109 × 131072)
    floor (97899.5)     		tx = 97899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771442413330078 × 217)
    floor (0.771442413330078 × 131072)
    floor (101114.5)     		ty = 101114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97899 / 101114 ti = "17/97899/101114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97899/101114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97899 ÷ 217
    97899 ÷ 131072     		x = 0.746910095214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101114 ÷ 217
    101114 ÷ 131072     		y = 0.771438598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746910095214844 × 2 - 1) × π
    0.493820190429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.55138188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771438598632812 × 2 - 1) × π
    -0.542877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70549901468236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55138188} λ = 1.55138188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70549901468236))-π/2
    2×atan(0.181681701714139)-π/2
    2×0.179721383879044-π/2
    0.359442767758088-1.57079632675     		φ = -1.21135356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55138188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.887634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21135356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.405446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97899 KachelY 101114 1.55138188 -1.21135356 88.887634 -69.405446
    Oben rechts KachelX + 1 97900 KachelY 101114 1.55142982 -1.21135356 88.890381 -69.405446
    Unten links KachelX 97899 KachelY + 1 101115 1.55138188 -1.21137042 88.887634 -69.406412
    Unten rechts KachelX + 1 97900 KachelY + 1 101115 1.55142982 -1.21137042 88.890381 -69.406412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21135356--1.21137042) × R
    1.68599999998964e-05 × 6371000     		dl = 107.41505999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21135356--1.21137042) × R
    1.68599999998964e-05 × 6371000     		dr = 107.41505999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55138188-1.55142982) × cos(-1.21135356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351752665823244 × 6371000     		do = 107.434318255966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55138188-1.55142982) × cos(-1.21137042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351736883245653 × 6371000     		du = 107.429497850527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21135356)-sin(-1.21137042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351752665823244-0.351736883245653)×R²
    abs(1.55142982-1.55138188)×1.57825775903842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57825775903842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57825775903842e-05×40589641000000     		ar = 11539.8048497065m²