Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97898 / 102305
↖ ↑ ↗
← S 70.525813°
E 88.884888°		 ← 101.80 m → S 70.525813°
E 88.887634°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 70.526728°
E 88.884888°		 ← 101.80 m →
10 364 m²		 S 70.526728°
E 88.887634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746906280517578 y=0.780529022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746906280517578 × 217)
    floor (0.746906280517578 × 131072)
    floor (97898.5)     		tx = 97898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780529022216797 × 217)
    floor (0.780529022216797 × 131072)
    floor (102305.5)     		ty = 102305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97898 / 102305 ti = "17/97898/102305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97898/102305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97898 ÷ 217
    97898 ÷ 131072     		x = 0.746902465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102305 ÷ 217
    102305 ÷ 131072     		y = 0.780525207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746902465820312 × 2 - 1) × π
    0.493804931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55133395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780525207519531 × 2 - 1) × π
    -0.561050415039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76259186212984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55133395} λ = 1.55133395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76259186212984))-π/2
    2×atan(0.171599524634069)-π/2
    2×0.169944341940536-π/2
    0.339888683881071-1.57079632675     		φ = -1.23090764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55133395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23090764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.525813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97898 KachelY 102305 1.55133395 -1.23090764 88.884888 -70.525813
    Oben rechts KachelX + 1 97899 KachelY 102305 1.55138188 -1.23090764 88.887634 -70.525813
    Unten links KachelX 97898 KachelY + 1 102306 1.55133395 -1.23092362 88.884888 -70.526728
    Unten rechts KachelX + 1 97899 KachelY + 1 102306 1.55138188 -1.23092362 88.887634 -70.526728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23090764--1.23092362) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23090764--1.23092362) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55133395-1.55138188) × cos(-1.23090764) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333382149031527 × 6371000     		do = 101.802249794092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55133395-1.55138188) × cos(-1.23092362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333367083176298 × 6371000     		du = 101.797649253956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23090764)-sin(-1.23092362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333382149031527-0.333367083176298)×R²
    abs(1.55138188-1.55133395)×1.50658552292571e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50658552292571e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50658552292571e-05×40589641000000     		ar = 10364.1083054026m²