Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97896 / 101016
↖ ↑ ↗
← S 69.310558°
E 88.879394°		 ← 107.91 m → S 69.310558°
E 88.882141°		 →
↑
107.92 m
↓
↑
107.92 m
↓
S 69.311529°
E 88.879394°		 ← 107.90 m →
11 646 m²		 S 69.311529°
E 88.882141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746891021728516 y=0.770694732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746891021728516 × 217)
    floor (0.746891021728516 × 131072)
    floor (97896.5)     		tx = 97896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770694732666016 × 217)
    floor (0.770694732666016 × 131072)
    floor (101016.5)     		ty = 101016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97896 / 101016 ti = "17/97896/101016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97896/101016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97896 ÷ 217
    97896 ÷ 131072     		x = 0.74688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101016 ÷ 217
    101016 ÷ 131072     		y = 0.77069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74688720703125 × 2 - 1) × π
    0.4937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.55123807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.5413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70080119851959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55123807} λ = 1.55123807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70080119851959))-π/2
    2×atan(0.182537216902072)-π/2
    2×0.180549437570268-π/2
    0.361098875140537-1.57079632675     		φ = -1.20969745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55123807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.879394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20969745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.310558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97896 KachelY 101016 1.55123807 -1.20969745 88.879394 -69.310558
    Oben rechts KachelX + 1 97897 KachelY 101016 1.55128601 -1.20969745 88.882141 -69.310558
    Unten links KachelX 97896 KachelY + 1 101017 1.55123807 -1.20971439 88.879394 -69.311529
    Unten rechts KachelX + 1 97897 KachelY + 1 101017 1.55128601 -1.20971439 88.882141 -69.311529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20969745--1.20971439) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dl = 107.924740000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20969745--1.20971439) × R
    1.69400000000763e-05 × 6371000     		dr = 107.924740000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55123807-1.55128601) × cos(-1.20969745) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353302455679201 × 6371000     		do = 107.907663970066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55123807-1.55128601) × cos(-1.20971439) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.353286608103463 × 6371000     		du = 107.902823712519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20969745)-sin(-1.20971439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353302455679201-0.353286608103463)×R²
    abs(1.55128601-1.55123807)×1.58475757387477e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58475757387477e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58475757387477e-05×40589641000000     		ar = 11645.645386557m²