Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97894 / 101122
↖ ↑ ↗
← S 69.413174°
E 88.873901°		 ← 107.37 m → S 69.413174°
E 88.876648°		 →
↑
107.42 m
↓
↑
107.42 m
↓
S 69.414140°
E 88.873901°		 ← 107.37 m →
11 533 m²		 S 69.414140°
E 88.876648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746875762939453 y=0.771503448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746875762939453 × 217)
    floor (0.746875762939453 × 131072)
    floor (97894.5)     		tx = 97894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771503448486328 × 217)
    floor (0.771503448486328 × 131072)
    floor (101122.5)     		ty = 101122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97894 / 101122 ti = "17/97894/101122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97894/101122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97894 ÷ 217
    97894 ÷ 131072     		x = 0.746871948242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101122 ÷ 217
    101122 ÷ 131072     		y = 0.771499633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746871948242188 × 2 - 1) × π
    0.493743896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.55114220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771499633789062 × 2 - 1) × π
    -0.542999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70588250987932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55114220} λ = 1.55114220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70588250987932))-π/2
    2×atan(0.181612041012282)-π/2
    2×0.179653948255131-π/2
    0.359307896510261-1.57079632675     		φ = -1.21148843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55114220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21148843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.413174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97894 KachelY 101122 1.55114220 -1.21148843 88.873901 -69.413174
    Oben rechts KachelX + 1 97895 KachelY 101122 1.55119013 -1.21148843 88.876648 -69.413174
    Unten links KachelX 97894 KachelY + 1 101123 1.55114220 -1.21150529 88.873901 -69.414140
    Unten rechts KachelX + 1 97895 KachelY + 1 101123 1.55119013 -1.21150529 88.876648 -69.414140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21148843--1.21150529) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dl = 107.415060000755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21148843--1.21150529) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dr = 107.415060000755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55114220-1.55119013) × cos(-1.21148843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351626411764607 × 6371000     		do = 107.373354898122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55114220-1.55119013) × cos(-1.21150529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.351610628387324 × 6371000     		du = 107.368535253995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21148843)-sin(-1.21150529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351626411764607-0.351610628387324)×R²
    abs(1.55119013-1.55114220)×1.5783377282419e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5783377282419e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5783377282419e-05×40589641000000     		ar = 11533.2565079026m²