Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97891 / 102257
↖ ↑ ↗
← S 70.481814°
E 88.865662°		 ← 102.02 m → S 70.481814°
E 88.868408°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.482731°
E 88.865662°		 ← 102.02 m →
10 406 m²		 S 70.482731°
E 88.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746852874755859 y=0.780162811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746852874755859 × 217)
    floor (0.746852874755859 × 131072)
    floor (97891.5)     		tx = 97891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780162811279297 × 217)
    floor (0.780162811279297 × 131072)
    floor (102257.5)     		ty = 102257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97891 / 102257 ti = "17/97891/102257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97891/102257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97891 ÷ 217
    97891 ÷ 131072     		x = 0.746849060058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102257 ÷ 217
    102257 ÷ 131072     		y = 0.780158996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746849060058594 × 2 - 1) × π
    0.493698120117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.55099839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780158996582031 × 2 - 1) × π
    -0.560317993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.76029089094808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55099839} λ = 1.55099839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76029089094808))-π/2
    2×atan(0.171994824807802)-π/2
    2×0.170328309585391-π/2
    0.340656619170782-1.57079632675     		φ = -1.23013971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55099839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.865662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23013971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.481814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97891 KachelY 102257 1.55099839 -1.23013971 88.865662 -70.481814
    Oben rechts KachelX + 1 97892 KachelY 102257 1.55104632 -1.23013971 88.868408 -70.481814
    Unten links KachelX 97891 KachelY + 1 102258 1.55099839 -1.23015572 88.865662 -70.482731
    Unten rechts KachelX + 1 97892 KachelY + 1 102258 1.55104632 -1.23015572 88.868408 -70.482731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23013971--1.23015572) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23013971--1.23015572) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55099839-1.55104632) × cos(-1.23013971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334106048752439 × 6371000     		do = 102.023301282386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55099839-1.55104632) × cos(-1.23015572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334090958716441 × 6371000     		du = 102.018693358361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23013971)-sin(-1.23015572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334106048752439-0.334090958716441)×R²
    abs(1.55104632-1.55099839)×1.50900359986439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50900359986439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50900359986439e-05×40589641000000     		ar = 10406.1121409152m²