Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97890 / 101125
↖ ↑ ↗
← S 69.416071°
E 88.862915°		 ← 107.38 m → S 69.416071°
E 88.865662°		 →
↑
107.42 m
↓
↑
107.42 m
↓
S 69.417037°
E 88.862915°		 ← 107.38 m →
11 534 m²		 S 69.417037°
E 88.865662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746845245361328 y=0.771526336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746845245361328 × 217)
    floor (0.746845245361328 × 131072)
    floor (97890.5)     		tx = 97890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771526336669922 × 217)
    floor (0.771526336669922 × 131072)
    floor (101125.5)     		ty = 101125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97890 / 101125 ti = "17/97890/101125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97890/101125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97890 ÷ 217
    97890 ÷ 131072     		x = 0.746841430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101125 ÷ 217
    101125 ÷ 131072     		y = 0.771522521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746841430664062 × 2 - 1) × π
    0.493682861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55095045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771522521972656 × 2 - 1) × π
    -0.543045043945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.70602632057818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55095045} λ = 1.55095045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70602632057818))-π/2
    2×atan(0.181585925135659)-π/2
    2×0.17962866613702-π/2
    0.35925733227404-1.57079632675     		φ = -1.21153899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55095045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21153899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.416071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97890 KachelY 101125 1.55095045 -1.21153899 88.862915 -69.416071
    Oben rechts KachelX + 1 97891 KachelY 101125 1.55099839 -1.21153899 88.865662 -69.416071
    Unten links KachelX 97890 KachelY + 1 101126 1.55095045 -1.21155585 88.862915 -69.417037
    Unten rechts KachelX + 1 97891 KachelY + 1 101126 1.55099839 -1.21155585 88.865662 -69.417037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21153899--1.21155585) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dl = 107.415060000755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21153899--1.21155585) × R
    1.68600000001184e-05 × 6371000     		dr = 107.415060000755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55095045-1.55099839) × cos(-1.21153899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351579080056082 × 6371000     		do = 107.381300694578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55095045-1.55099839) × cos(-1.21155585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.351563296379086 × 6371000     		du = 107.376479953351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21153899)-sin(-1.21155585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351579080056082-0.351563296379086)×R²
    abs(1.55099839-1.55095045)×1.57836769964503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57836769964503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57836769964503e-05×40589641000000     		ar = 11534.1099472491m²