Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97885 / 102261
↖ ↑ ↗
← S 70.485484°
E 88.849182°		 ← 102 m → S 70.485484°
E 88.851929°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.486401°
E 88.849182°		 ← 102 m →
10 404 m²		 S 70.486401°
E 88.851929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746807098388672 y=0.780193328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746807098388672 × 217)
    floor (0.746807098388672 × 131072)
    floor (97885.5)     		tx = 97885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780193328857422 × 217)
    floor (0.780193328857422 × 131072)
    floor (102261.5)     		ty = 102261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97885 / 102261 ti = "17/97885/102261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97885/102261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97885 ÷ 217
    97885 ÷ 131072     		x = 0.746803283691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102261 ÷ 217
    102261 ÷ 131072     		y = 0.780189514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746803283691406 × 2 - 1) × π
    0.493606567382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.55071077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780189514160156 × 2 - 1) × π
    -0.560379028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.76048263854656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55071077} λ = 1.55071077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76048263854656))-π/2
    2×atan(0.171961848374871)-π/2
    2×0.170296280463337-π/2
    0.340592560926673-1.57079632675     		φ = -1.23020377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55071077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.849182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23020377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.485484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97885 KachelY 102261 1.55071077 -1.23020377 88.849182 -70.485484
    Oben rechts KachelX + 1 97886 KachelY 102261 1.55075870 -1.23020377 88.851929 -70.485484
    Unten links KachelX 97885 KachelY + 1 102262 1.55071077 -1.23021978 88.849182 -70.486401
    Unten rechts KachelX + 1 97886 KachelY + 1 102262 1.55075870 -1.23021978 88.851929 -70.486401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23020377--1.23021978) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dl = 101.999710001129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23020377--1.23021978) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dr = 101.999710001129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55071077-1.55075870) × cos(-1.23020377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334045669243517 × 6371000     		do = 102.004863672971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55071077-1.55075870) × cos(-1.23021978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334030578864898 × 6371000     		du = 102.000255644323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23020377)-sin(-1.23021978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334045669243517-0.334030578864898)×R²
    abs(1.55075870-1.55071077)×1.50903786194645e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50903786194645e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50903786194645e-05×40589641000000     		ar = 10404.231504872m²