Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97877 / 102251
↖ ↑ ↗
← S 70.476307°
E 88.827209°		 ← 102.07 m → S 70.476307°
E 88.829956°		 →
↑
102.06 m
↓
↑
102.06 m
↓
S 70.477225°
E 88.827209°		 ← 102.07 m →
10 418 m²		 S 70.477225°
E 88.829956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746746063232422 y=0.780117034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746746063232422 × 217)
    floor (0.746746063232422 × 131072)
    floor (97877.5)     		tx = 97877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780117034912109 × 217)
    floor (0.780117034912109 × 131072)
    floor (102251.5)     		ty = 102251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97877 / 102251 ti = "17/97877/102251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97877/102251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97877 ÷ 217
    97877 ÷ 131072     		x = 0.746742248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102251 ÷ 217
    102251 ÷ 131072     		y = 0.780113220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746742248535156 × 2 - 1) × π
    0.493484497070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.55032727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780113220214844 × 2 - 1) × π
    -0.560226440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.76000326955036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55032727} λ = 1.55032727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76000326955036))-π/2
    2×atan(0.172044301314623)-π/2
    2×0.170376364123343-π/2
    0.340752728246685-1.57079632675     		φ = -1.23004360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55032727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.827209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23004360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.476307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97877 KachelY 102251 1.55032727 -1.23004360 88.827209 -70.476307
    Oben rechts KachelX + 1 97878 KachelY 102251 1.55037521 -1.23004360 88.829956 -70.476307
    Unten links KachelX 97877 KachelY + 1 102252 1.55032727 -1.23005962 88.827209 -70.477225
    Unten rechts KachelX + 1 97878 KachelY + 1 102252 1.55037521 -1.23005962 88.829956 -70.477225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23004360--1.23005962) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dl = 102.063420000742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23004360--1.23005962) × R
    1.60200000001165e-05 × 6371000     		dr = 102.063420000742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55032727-1.55037521) × cos(-1.23004360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334196634295065 × 6371000     		do = 102.072254335013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55032727-1.55037521) × cos(-1.23005962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334181535348133 × 6371000     		du = 102.067642727973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23004360)-sin(-1.23005962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334196634295065-0.334181535348133)×R²
    abs(1.55037521-1.55032727)×1.50989469319129e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50989469319129e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50989469319129e-05×40589641000000     		ar = 10417.608026677m²