Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97874 / 102189
↖ ↑ ↗
← S 70.419317°
E 88.818970°		 ← 102.36 m → S 70.419317°
E 88.821716°		 →
↑
102.38 m
↓
↑
102.38 m
↓
S 70.420238°
E 88.818970°		 ← 102.35 m →
10 479 m²		 S 70.420238°
E 88.821716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746723175048828 y=0.779644012451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746723175048828 × 217)
    floor (0.746723175048828 × 131072)
    floor (97874.5)     		tx = 97874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779644012451172 × 217)
    floor (0.779644012451172 × 131072)
    floor (102189.5)     		ty = 102189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97874 / 102189 ti = "17/97874/102189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97874/102189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97874 ÷ 217
    97874 ÷ 131072     		x = 0.746719360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102189 ÷ 217
    102189 ÷ 131072     		y = 0.779640197753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746719360351562 × 2 - 1) × π
    0.493438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.55018346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779640197753906 × 2 - 1) × π
    -0.559280395507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75703118177392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55018346} λ = 1.55018346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75703118177392))-π/2
    2×atan(0.172556392692875)-π/2
    2×0.170873691141109-π/2
    0.341747382282218-1.57079632675     		φ = -1.22904894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55018346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.818970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22904894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.419317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97874 KachelY 102189 1.55018346 -1.22904894 88.818970 -70.419317
    Oben rechts KachelX + 1 97875 KachelY 102189 1.55023140 -1.22904894 88.821716 -70.419317
    Unten links KachelX 97874 KachelY + 1 102190 1.55018346 -1.22906501 88.818970 -70.420238
    Unten rechts KachelX + 1 97875 KachelY + 1 102190 1.55023140 -1.22906501 88.821716 -70.420238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22904894--1.22906501) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dl = 102.381970000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22904894--1.22906501) × R
    1.60700000000347e-05 × 6371000     		dr = 102.381970000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55018346-1.55023140) × cos(-1.22904894) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335133939227811 × 6371000     		do = 102.358531387702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55018346-1.55023140) × cos(-1.22906501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335118798504674 × 6371000     		du = 102.353907021134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22904894)-sin(-1.22906501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335133939227811-0.335118798504674)×R²
    abs(1.55023140-1.55018346)×1.51407231369638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51407231369638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51407231369638e-05×40589641000000     		ar = 10479.4313641313m²