Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97871 / 102454
↖ ↑ ↗
← S 70.661788°
E 88.810730°		 ← 101.14 m → S 70.661788°
E 88.813477°		 →
↑
101.11 m
↓
↑
101.11 m
↓
S 70.662698°
E 88.810730°		 ← 101.14 m →
10 226 m²		 S 70.662698°
E 88.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746700286865234 y=0.781665802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746700286865234 × 217)
    floor (0.746700286865234 × 131072)
    floor (97871.5)     		tx = 97871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781665802001953 × 217)
    floor (0.781665802001953 × 131072)
    floor (102454.5)     		ty = 102454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97871 / 102454 ti = "17/97871/102454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97871/102454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97871 ÷ 217
    97871 ÷ 131072     		x = 0.746696472167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102454 ÷ 217
    102454 ÷ 131072     		y = 0.781661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746696472167969 × 2 - 1) × π
    0.493392944335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.55003965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781661987304688 × 2 - 1) × π
    -0.563323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76973446017323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.55003965} λ = 1.55003965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76973446017323))-π/2
    2×atan(0.170378225023495)-π/2
    2×0.168757735504818-π/2
    0.337515471009637-1.57079632675     		φ = -1.23328086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.55003965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.810730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23328086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.661788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97871 KachelY 102454 1.55003965 -1.23328086 88.810730 -70.661788
    Oben rechts KachelX + 1 97872 KachelY 102454 1.55008759 -1.23328086 88.813477 -70.661788
    Unten links KachelX 97871 KachelY + 1 102455 1.55003965 -1.23329673 88.810730 -70.662698
    Unten rechts KachelX + 1 97872 KachelY + 1 102455 1.55008759 -1.23329673 88.813477 -70.662698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23328086--1.23329673) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dl = 101.107769999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23328086--1.23329673) × R
    1.58699999999179e-05 × 6371000     		dr = 101.107769999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.55003965-1.55008759) × cos(-1.23328086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331143759988266 × 6371000     		do = 101.139827940732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.55003965-1.55008759) × cos(-1.23329673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331128785326973 × 6371000     		du = 101.135254293725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23328086)-sin(-1.23329673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331143759988266-0.331128785326973)×R²
    abs(1.55008759-1.55003965)×1.49746612934099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49746612934099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49746612934099e-05×40589641000000     		ar = 10225.791245795m²