Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97868 / 101604
↖ ↑ ↗
← S 69.873672°
E 88.802490°		 ← 105.09 m → S 69.873672°
E 88.805237°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.874617°
E 88.802490°		 ← 105.09 m →
11 041 m²		 S 69.874617°
E 88.805237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746677398681641 y=0.775180816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746677398681641 × 217)
    floor (0.746677398681641 × 131072)
    floor (97868.5)     		tx = 97868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775180816650391 × 217)
    floor (0.775180816650391 × 131072)
    floor (101604.5)     		ty = 101604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97868 / 101604 ti = "17/97868/101604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97868/101604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97868 ÷ 217
    97868 ÷ 131072     		x = 0.746673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101604 ÷ 217
    101604 ÷ 131072     		y = 0.775177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746673583984375 × 2 - 1) × π
    0.49334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54989584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.55035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72898809549619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54989584} λ = 1.54989584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72898809549619))-π/2
    2×atan(0.177463895658656)-π/2
    2×0.175635343186008-π/2
    0.351270686372015-1.57079632675     		φ = -1.21952564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54989584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.802490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21952564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.873672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97868 KachelY 101604 1.54989584 -1.21952564 88.802490 -69.873672
    Oben rechts KachelX + 1 97869 KachelY 101604 1.54994378 -1.21952564 88.805237 -69.873672
    Unten links KachelX 97868 KachelY + 1 101605 1.54989584 -1.21954213 88.802490 -69.874617
    Unten rechts KachelX + 1 97869 KachelY + 1 101605 1.54994378 -1.21954213 88.805237 -69.874617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21952564--1.21954213) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21952564--1.21954213) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54989584-1.54994378) × cos(-1.21952564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344091178806867 × 6371000     		do = 105.094302914491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54989584-1.54994378) × cos(-1.21954213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344075695701506 × 6371000     		du = 105.089573975578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21952564)-sin(-1.21954213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344091178806867-0.344075695701506)×R²
    abs(1.54994378-1.54989584)×1.54831053608695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54831053608695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54831053608695e-05×40589641000000     		ar = 11040.7267999204m²