Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97868 / 101596
↖ ↑ ↗
← S 69.866110°
E 88.802490°		 ← 105.13 m → S 69.866110°
E 88.805237°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.867056°
E 88.802490°		 ← 105.13 m →
11 051 m²		 S 69.867056°
E 88.805237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746677398681641 y=0.775119781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746677398681641 × 217)
    floor (0.746677398681641 × 131072)
    floor (97868.5)     		tx = 97868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775119781494141 × 217)
    floor (0.775119781494141 × 131072)
    floor (101596.5)     		ty = 101596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97868 / 101596 ti = "17/97868/101596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97868/101596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97868 ÷ 217
    97868 ÷ 131072     		x = 0.746673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101596 ÷ 217
    101596 ÷ 131072     		y = 0.775115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746673583984375 × 2 - 1) × π
    0.49334716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54989584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.55023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72860460029922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54989584} λ = 1.54989584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72860460029922))-π/2
    2×atan(0.177531965261623)-π/2
    2×0.175701333723077-π/2
    0.351402667446153-1.57079632675     		φ = -1.21939366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54989584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.802490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21939366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.866110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97868 KachelY 101596 1.54989584 -1.21939366 88.802490 -69.866110
    Oben rechts KachelX + 1 97869 KachelY 101596 1.54994378 -1.21939366 88.805237 -69.866110
    Unten links KachelX 97868 KachelY + 1 101597 1.54989584 -1.21941016 88.802490 -69.867056
    Unten rechts KachelX + 1 97869 KachelY + 1 101597 1.54994378 -1.21941016 88.805237 -69.867056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21939366--1.21941016) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21939366--1.21941016) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54989584-1.54994378) × cos(-1.21939366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3442150966145 × 6371000     		do = 105.132150602586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54989584-1.54994378) × cos(-1.21941016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344199604869155 × 6371000     		du = 105.1274190248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21939366)-sin(-1.21941016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3442150966145-0.344199604869155)×R²
    abs(1.54994378-1.54989584)×1.54917453450976e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54917453450976e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54917453450976e-05×40589641000000     		ar = 11051.4006747702m²