Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97867 / 101598
↖ ↑ ↗
← S 69.868001°
E 88.799744°		 ← 105.12 m → S 69.868001°
E 88.802490°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.868946°
E 88.799744°		 ← 105.12 m →
11 050 m²		 S 69.868946°
E 88.802490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746669769287109 y=0.775135040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746669769287109 × 217)
    floor (0.746669769287109 × 131072)
    floor (97867.5)     		tx = 97867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775135040283203 × 217)
    floor (0.775135040283203 × 131072)
    floor (101598.5)     		ty = 101598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97867 / 101598 ti = "17/97867/101598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97867/101598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97867 ÷ 217
    97867 ÷ 131072     		x = 0.746665954589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101598 ÷ 217
    101598 ÷ 131072     		y = 0.775131225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746665954589844 × 2 - 1) × π
    0.493331909179688 × 3.1415926535     		Λ = 1.54984790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775131225585938 × 2 - 1) × π
    -0.550262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72870047409847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54984790} λ = 1.54984790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72870047409847))-π/2
    2×atan(0.177514945413519)-π/2
    2×0.175684833861145-π/2
    0.35136966772229-1.57079632675     		φ = -1.21942666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54984790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.799744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21942666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.868001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97867 KachelY 101598 1.54984790 -1.21942666 88.799744 -69.868001
    Oben rechts KachelX + 1 97868 KachelY 101598 1.54989584 -1.21942666 88.802490 -69.868001
    Unten links KachelX 97867 KachelY + 1 101599 1.54984790 -1.21944316 88.799744 -69.868946
    Unten rechts KachelX + 1 97868 KachelY + 1 101599 1.54989584 -1.21944316 88.802490 -69.868946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21942666--1.21944316) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dl = 105.121499999133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21942666--1.21944316) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dr = 105.121499999133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54984790-1.54989584) × cos(-1.21942666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344184113030101 × 6371000     		do = 105.122687418393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54984790-1.54989584) × cos(-1.21944316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344168621097344 × 6371000     		du = 105.117955783367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21942666)-sin(-1.21944316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344184113030101-0.344168621097344)×R²
    abs(1.54989584-1.54984790)×1.54919327573499e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54919327573499e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54919327573499e-05×40589641000000     		ar = 11050.405887359m²