Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97859 / 102219
↖ ↑ ↗
← S 70.446913°
E 88.777771°		 ← 102.20 m → S 70.446913°
E 88.780517°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.447832°
E 88.777771°		 ← 102.19 m →
10 444 m²		 S 70.447832°
E 88.780517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746608734130859 y=0.779872894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746608734130859 × 217)
    floor (0.746608734130859 × 131072)
    floor (97859.5)     		tx = 97859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779872894287109 × 217)
    floor (0.779872894287109 × 131072)
    floor (102219.5)     		ty = 102219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97859 / 102219 ti = "17/97859/102219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97859/102219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97859 ÷ 217
    97859 ÷ 131072     		x = 0.746604919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102219 ÷ 217
    102219 ÷ 131072     		y = 0.779869079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746604919433594 × 2 - 1) × π
    0.493209838867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.54946441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779869079589844 × 2 - 1) × π
    -0.559738159179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.75846928876252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54946441} λ = 1.54946441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75846928876252))-π/2
    2×atan(0.172308416489509)-π/2
    2×0.170632875106145-π/2
    0.34126575021229-1.57079632675     		φ = -1.22953058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54946441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.777771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22953058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.446913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97859 KachelY 102219 1.54946441 -1.22953058 88.777771 -70.446913
    Oben rechts KachelX + 1 97860 KachelY 102219 1.54951234 -1.22953058 88.780517 -70.446913
    Unten links KachelX 97859 KachelY + 1 102220 1.54946441 -1.22954662 88.777771 -70.447832
    Unten rechts KachelX + 1 97860 KachelY + 1 102220 1.54951234 -1.22954662 88.780517 -70.447832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22953058--1.22954662) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22953058--1.22954662) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54946441-1.54951234) × cos(-1.22953058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334680113376158 × 6371000     		do = 102.198598821236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54946441-1.54951234) × cos(-1.22954662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334664998331029 × 6371000     		du = 102.193983260372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22953058)-sin(-1.22954662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334680113376158-0.334664998331029)×R²
    abs(1.54951234-1.54946441)×1.5115045128411e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5115045128411e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5115045128411e-05×40589641000000     		ar = 10443.5248264534m²