Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97856 / 102228
↖ ↑ ↗
← S 70.455184°
E 88.769531°		 ← 102.16 m → S 70.455184°
E 88.772278°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.456103°
E 88.769531°		 ← 102.15 m →
10 439 m²		 S 70.456103°
E 88.772278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746585845947266 y=0.779941558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746585845947266 × 217)
    floor (0.746585845947266 × 131072)
    floor (97856.5)     		tx = 97856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779941558837891 × 217)
    floor (0.779941558837891 × 131072)
    floor (102228.5)     		ty = 102228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97856 / 102228 ti = "17/97856/102228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97856/102228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97856 ÷ 217
    97856 ÷ 131072     		x = 0.74658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102228 ÷ 217
    102228 ÷ 131072     		y = 0.779937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54932060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.55987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7589007208591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54932060} λ = 1.54932060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7589007208591))-π/2
    2×atan(0.172234093142016)-π/2
    2×0.170560693907908-π/2
    0.341121387815817-1.57079632675     		φ = -1.22967494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54932060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22967494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.455184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97856 KachelY 102228 1.54932060 -1.22967494 88.769531 -70.455184
    Oben rechts KachelX + 1 97857 KachelY 102228 1.54936853 -1.22967494 88.772278 -70.455184
    Unten links KachelX 97856 KachelY + 1 102229 1.54932060 -1.22969098 88.769531 -70.456103
    Unten rechts KachelX + 1 97857 KachelY + 1 102229 1.54936853 -1.22969098 88.772278 -70.456103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22967494--1.22969098) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22967494--1.22969098) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54932060-1.54936853) × cos(-1.22967494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334544074870615 × 6371000     		do = 102.157057827026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54932060-1.54936853) × cos(-1.22969098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334528959050698 × 6371000     		du = 102.152442029571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22967494)-sin(-1.22969098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334544074870615-0.334528959050698)×R²
    abs(1.54936853-1.54932060)×1.51158199167556e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51158199167556e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51158199167556e-05×40589641000000     		ar = 10439.2797054485m²