Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97849 / 102406
↖ ↑ ↗
← S 70.618084°
E 88.750305°		 ← 101.34 m → S 70.618084°
E 88.753052°		 →
↑
101.30 m
↓
↑
101.30 m
↓
S 70.618995°
E 88.750305°		 ← 101.33 m →
10 265 m²		 S 70.618995°
E 88.753052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746532440185547 y=0.781299591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746532440185547 × 217)
    floor (0.746532440185547 × 131072)
    floor (97849.5)     		tx = 97849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781299591064453 × 217)
    floor (0.781299591064453 × 131072)
    floor (102406.5)     		ty = 102406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97849 / 102406 ti = "17/97849/102406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97849/102406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97849 ÷ 217
    97849 ÷ 131072     		x = 0.746528625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102406 ÷ 217
    102406 ÷ 131072     		y = 0.781295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746528625488281 × 2 - 1) × π
    0.493057250976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.54898504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.562591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76743348899147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54898504} λ = 1.54898504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76743348899147))-π/2
    2×atan(0.170770711786472)-π/2
    2×0.169139125474655-π/2
    0.33827825094931-1.57079632675     		φ = -1.23251808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54898504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.750305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23251808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.618084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97849 KachelY 102406 1.54898504 -1.23251808 88.750305 -70.618084
    Oben rechts KachelX + 1 97850 KachelY 102406 1.54903297 -1.23251808 88.753052 -70.618084
    Unten links KachelX 97849 KachelY + 1 102407 1.54898504 -1.23253398 88.750305 -70.618995
    Unten rechts KachelX + 1 97850 KachelY + 1 102407 1.54903297 -1.23253398 88.753052 -70.618995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23251808--1.23253398) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dl = 101.29889999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23251808--1.23253398) × R
    1.58999999999576e-05 × 6371000     		dr = 101.29889999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54898504-1.54903297) × cos(-1.23251808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331863407775657 × 6371000     		do = 101.338483881154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54898504-1.54903297) × cos(-1.23253398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331848408827248 × 6371000     		du = 101.33390377182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23251808)-sin(-1.23253398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331863407775657-0.331848408827248)×R²
    abs(1.54903297-1.54898504)×1.49989484090618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49989484090618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49989484090618e-05×40589641000000     		ar = 10265.2449650358m²