Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97847 / 102390
↖ ↑ ↗
← S 70.603495°
E 88.744812°		 ← 101.43 m → S 70.603495°
E 88.747559°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.604407°
E 88.744812°		 ← 101.43 m →
10 288 m²		 S 70.604407°
E 88.747559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746517181396484 y=0.781177520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746517181396484 × 217)
    floor (0.746517181396484 × 131072)
    floor (97847.5)     		tx = 97847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781177520751953 × 217)
    floor (0.781177520751953 × 131072)
    floor (102390.5)     		ty = 102390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97847 / 102390 ti = "17/97847/102390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97847/102390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97847 ÷ 217
    97847 ÷ 131072     		x = 0.746513366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102390 ÷ 217
    102390 ÷ 131072     		y = 0.781173706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746513366699219 × 2 - 1) × π
    0.493026733398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.54888916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781173706054688 × 2 - 1) × π
    -0.562347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76666649859755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54888916} λ = 1.54888916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76666649859755))-π/2
    2×atan(0.170901741524827)-π/2
    2×0.169266439549494-π/2
    0.338532879098989-1.57079632675     		φ = -1.23226345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54888916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.744812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23226345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.603495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97847 KachelY 102390 1.54888916 -1.23226345 88.744812 -70.603495
    Oben rechts KachelX + 1 97848 KachelY 102390 1.54893710 -1.23226345 88.747559 -70.603495
    Unten links KachelX 97847 KachelY + 1 102391 1.54888916 -1.23227937 88.744812 -70.604407
    Unten rechts KachelX + 1 97848 KachelY + 1 102391 1.54893710 -1.23227937 88.747559 -70.604407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23226345--1.23227937) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23226345--1.23227937) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54888916-1.54893710) × cos(-1.23226345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		do = 101.432986712514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54888916-1.54893710) × cos(-1.23227937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332088580013993 × 6371000     		du = 101.428400296257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23226345)-sin(-1.23227937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332103596483323-0.332088580013993)×R²
    abs(1.54893710-1.54888916)×1.50164693294985e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50164693294985e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50164693294985e-05×40589641000000     		ar = 10287.7419773867m²