Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97845 / 102389
↖ ↑ ↗
← S 70.602583°
E 88.739319°		 ← 101.44 m → S 70.602583°
E 88.742066°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.603495°
E 88.739319°		 ← 101.43 m →
10 288 m²		 S 70.603495°
E 88.742066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746501922607422 y=0.781169891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746501922607422 × 217)
    floor (0.746501922607422 × 131072)
    floor (97845.5)     		tx = 97845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781169891357422 × 217)
    floor (0.781169891357422 × 131072)
    floor (102389.5)     		ty = 102389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97845 / 102389 ti = "17/97845/102389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97845/102389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97845 ÷ 217
    97845 ÷ 131072     		x = 0.746498107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102389 ÷ 217
    102389 ÷ 131072     		y = 0.781166076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746498107910156 × 2 - 1) × π
    0.492996215820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.54879329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781166076660156 × 2 - 1) × π
    -0.562332153320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.76661856169793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54879329} λ = 1.54879329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76661856169793))-π/2
    2×atan(0.17090993422082)-π/2
    2×0.169274399737893-π/2
    0.338548799475787-1.57079632675     		φ = -1.23224753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54879329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.739319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23224753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.602583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97845 KachelY 102389 1.54879329 -1.23224753 88.739319 -70.602583
    Oben rechts KachelX + 1 97846 KachelY 102389 1.54884123 -1.23224753 88.742066 -70.602583
    Unten links KachelX 97845 KachelY + 1 102390 1.54879329 -1.23226345 88.739319 -70.603495
    Unten rechts KachelX + 1 97846 KachelY + 1 102390 1.54884123 -1.23226345 88.742066 -70.603495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23224753--1.23226345) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dl = 101.42632000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23224753--1.23226345) × R
    1.59200000000581e-05 × 6371000     		dr = 101.42632000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54879329-1.54884123) × cos(-1.23224753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332118612868482 × 6371000     		do = 101.437573103063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54879329-1.54884123) × cos(-1.23226345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		du = 101.432986712514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23224753)-sin(-1.23226345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332118612868482-0.332103596483323)×R²
    abs(1.54884123-1.54879329)×1.50163851589946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50163851589946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50163851589946e-05×40589641000000     		ar = 10288.2071594577m²