Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97843 / 101073
↖ ↑ ↗
← S 69.365799°
E 88.733826°		 ← 107.61 m → S 69.365799°
E 88.736572°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
S 69.366767°
E 88.733826°		 ← 107.60 m →
11 586 m²		 S 69.366767°
E 88.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746486663818359 y=0.771129608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746486663818359 × 217)
    floor (0.746486663818359 × 131072)
    floor (97843.5)     		tx = 97843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771129608154297 × 217)
    floor (0.771129608154297 × 131072)
    floor (101073.5)     		ty = 101073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97843 / 101073 ti = "17/97843/101073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97843/101073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97843 ÷ 217
    97843 ÷ 131072     		x = 0.746482849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101073 ÷ 217
    101073 ÷ 131072     		y = 0.771125793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746482849121094 × 2 - 1) × π
    0.492965698242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.54869742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771125793457031 × 2 - 1) × π
    -0.542251586914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.70353360179794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54869742} λ = 1.54869742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70353360179794))-π/2
    2×atan(0.182039132405937)-π/2
    2×0.180067371641265-π/2
    0.36013474328253-1.57079632675     		φ = -1.21066158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54869742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.733826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21066158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.365799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97843 KachelY 101073 1.54869742 -1.21066158 88.733826 -69.365799
    Oben rechts KachelX + 1 97844 KachelY 101073 1.54874535 -1.21066158 88.736572 -69.365799
    Unten links KachelX 97843 KachelY + 1 101074 1.54869742 -1.21067848 88.733826 -69.366767
    Unten rechts KachelX + 1 97844 KachelY + 1 101074 1.54874535 -1.21067848 88.736572 -69.366767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21066158--1.21067848) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dl = 107.669899999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21066158--1.21067848) × R
    1.68999999998753e-05 × 6371000     		dr = 107.669899999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54869742-1.54874535) × cos(-1.21066158) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.352400339173984 × 6371000     		do = 107.609682942424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54869742-1.54874535) × cos(-1.21067848) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.35238452326969 × 6371000     		du = 107.604853365782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21066158)-sin(-1.21067848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352400339173984-0.35238452326969)×R²
    abs(1.54874535-1.54869742)×1.58159042940031e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.58159042940031e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.58159042940031e-05×40589641000000     		ar = 11586.0638017423m²