Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97842 / 101074
↖ ↑ ↗
← S 69.366767°
E 88.731079°		 ← 107.63 m → S 69.366767°
E 88.733826°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
S 69.367735°
E 88.731079°		 ← 107.62 m →
11 581 m²		 S 69.367735°
E 88.733826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746479034423828 y=0.771137237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746479034423828 × 217)
    floor (0.746479034423828 × 131072)
    floor (97842.5)     		tx = 97842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771137237548828 × 217)
    floor (0.771137237548828 × 131072)
    floor (101074.5)     		ty = 101074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97842 / 101074 ti = "17/97842/101074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97842/101074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97842 ÷ 217
    97842 ÷ 131072     		x = 0.746475219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101074 ÷ 217
    101074 ÷ 131072     		y = 0.771133422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746475219726562 × 2 - 1) × π
    0.492950439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.54864948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771133422851562 × 2 - 1) × π
    -0.542266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70358153869756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54864948} λ = 1.54864948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70358153869756))-π/2
    2×atan(0.182030406223475)-π/2
    2×0.180058925340961-π/2
    0.360117850681922-1.57079632675     		φ = -1.21067848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54864948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.731079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21067848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.366767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97842 KachelY 101074 1.54864948 -1.21067848 88.731079 -69.366767
    Oben rechts KachelX + 1 97843 KachelY 101074 1.54869742 -1.21067848 88.733826 -69.366767
    Unten links KachelX 97842 KachelY + 1 101075 1.54864948 -1.21069537 88.731079 -69.367735
    Unten rechts KachelX + 1 97843 KachelY + 1 101075 1.54869742 -1.21069537 88.733826 -69.367735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21067848--1.21069537) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dl = 107.606190001008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21067848--1.21069537) × R
    1.68900000001582e-05 × 6371000     		dr = 107.606190001008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54864948-1.54869742) × cos(-1.21067848) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.35238452326969 × 6371000     		do = 107.62730378462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54864948-1.54869742) × cos(-1.21069537) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.352368716623364 × 6371000     		du = 107.622476027969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21067848)-sin(-1.21069537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35238452326969-0.352368716623364)×R²
    abs(1.54869742-1.54864948)×1.58066463262774e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.58066463262774e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.58066463262774e-05×40589641000000     		ar = 11581.1043522978m²