Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97837 / 102396
↖ ↑ ↗
← S 70.608967°
E 88.717346°		 ← 101.41 m → S 70.608967°
E 88.720093°		 →
↑
101.43 m
↓
↑
101.43 m
↓
S 70.609879°
E 88.717346°		 ← 101.40 m →
10 285 m²		 S 70.609879°
E 88.720093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746440887451172 y=0.781223297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746440887451172 × 217)
    floor (0.746440887451172 × 131072)
    floor (97837.5)     		tx = 97837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781223297119141 × 217)
    floor (0.781223297119141 × 131072)
    floor (102396.5)     		ty = 102396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97837 / 102396 ti = "17/97837/102396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97837/102396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97837 ÷ 217
    97837 ÷ 131072     		x = 0.746437072753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102396 ÷ 217
    102396 ÷ 131072     		y = 0.781219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746437072753906 × 2 - 1) × π
    0.492874145507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.54840979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76695411999527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54840979} λ = 1.54840979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76695411999527))-π/2
    2×atan(0.170852593595394)-π/2
    2×0.16921868597694-π/2
    0.33843737195388-1.57079632675     		φ = -1.23235895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54840979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.717346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23235895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.608967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97837 KachelY 102396 1.54840979 -1.23235895 88.717346 -70.608967
    Oben rechts KachelX + 1 97838 KachelY 102396 1.54845773 -1.23235895 88.720093 -70.608967
    Unten links KachelX 97837 KachelY + 1 102397 1.54840979 -1.23237487 88.717346 -70.609879
    Unten rechts KachelX + 1 97838 KachelY + 1 102397 1.54845773 -1.23237487 88.720093 -70.609879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23235895--1.23237487) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dl = 101.426319998956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23235895--1.23237487) × R
    1.59199999998361e-05 × 6371000     		dr = 101.426319998956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54840979-1.54845773) × cos(-1.23235895) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332013515270415 × 6371000     		do = 101.405473591401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54840979-1.54845773) × cos(-1.23237487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331998498296249 × 6371000     		du = 101.400887020954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23235895)-sin(-1.23237487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332013515270415-0.331998498296249)×R²
    abs(1.54845773-1.54840979)×1.5016974166393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5016974166393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5016974166393e-05×40589641000000     		ar = 10284.9514146777m²