Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97831 / 102405
↖ ↑ ↗
← S 70.617173°
E 88.700867°		 ← 101.36 m → S 70.617173°
E 88.703613°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.618084°
E 88.700867°		 ← 101.36 m →
10 274 m²		 S 70.618084°
E 88.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746395111083984 y=0.781291961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746395111083984 × 217)
    floor (0.746395111083984 × 131072)
    floor (97831.5)     		tx = 97831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781291961669922 × 217)
    floor (0.781291961669922 × 131072)
    floor (102405.5)     		ty = 102405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97831 / 102405 ti = "17/97831/102405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97831/102405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97831 ÷ 217
    97831 ÷ 131072     		x = 0.746391296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102405 ÷ 217
    102405 ÷ 131072     		y = 0.781288146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746391296386719 × 2 - 1) × π
    0.492782592773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.54812217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781288146972656 × 2 - 1) × π
    -0.562576293945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.76738555209185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54812217} λ = 1.54812217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76738555209185))-π/2
    2×atan(0.170778898201155)-π/2
    2×0.169147079906031-π/2
    0.338294159812061-1.57079632675     		φ = -1.23250217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54812217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.700867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23250217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.617173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97831 KachelY 102405 1.54812217 -1.23250217 88.700867 -70.617173
    Oben rechts KachelX + 1 97832 KachelY 102405 1.54817011 -1.23250217 88.703613 -70.617173
    Unten links KachelX 97831 KachelY + 1 102406 1.54812217 -1.23251808 88.700867 -70.618084
    Unten rechts KachelX + 1 97832 KachelY + 1 102406 1.54817011 -1.23251808 88.703613 -70.618084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23250217--1.23251808) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23250217--1.23251808) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54812217-1.54817011) × cos(-1.23250217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331878416073389 × 6371000     		do = 101.364210819176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54812217-1.54817011) × cos(-1.23251808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331863407775657 × 6371000     		du = 101.359626898735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23250217)-sin(-1.23251808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331878416073389-0.331863407775657)×R²
    abs(1.54817011-1.54812217)×1.50082977323218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50082977323218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50082977323218e-05×40589641000000     		ar = 10274.3086503338m²