Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97820 / 102348
↖ ↑ ↗
← S 70.565148°
E 88.670654°		 ← 101.60 m → S 70.565148°
E 88.673401°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
S 70.566062°
E 88.670654°		 ← 101.60 m →
10 325 m²		 S 70.566062°
E 88.673401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746311187744141 y=0.780857086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746311187744141 × 217)
    floor (0.746311187744141 × 131072)
    floor (97820.5)     		tx = 97820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780857086181641 × 217)
    floor (0.780857086181641 × 131072)
    floor (102348.5)     		ty = 102348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97820 / 102348 ti = "17/97820/102348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97820/102348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97820 ÷ 217
    97820 ÷ 131072     		x = 0.746307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102348 ÷ 217
    102348 ÷ 131072     		y = 0.780853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746307373046875 × 2 - 1) × π
    0.49261474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.54759487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780853271484375 × 2 - 1) × π
    -0.56170654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76465314881351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54759487} λ = 1.54759487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76465314881351))-π/2
    2×atan(0.171246173123513)-π/2
    2×0.169601077530093-π/2
    0.339202155060186-1.57079632675     		φ = -1.23159417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54759487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23159417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.565148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97820 KachelY 102348 1.54759487 -1.23159417 88.670654 -70.565148
    Oben rechts KachelX + 1 97821 KachelY 102348 1.54764280 -1.23159417 88.673401 -70.565148
    Unten links KachelX 97820 KachelY + 1 102349 1.54759487 -1.23161012 88.670654 -70.566062
    Unten rechts KachelX + 1 97821 KachelY + 1 102349 1.54764280 -1.23161012 88.673401 -70.566062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23159417--1.23161012) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23159417--1.23161012) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54759487-1.54764280) × cos(-1.23159417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332734815675414 × 6371000     		do = 101.604578766382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54759487-1.54764280) × cos(-1.23161012) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332719774457138 × 6371000     		du = 101.599985749436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23159417)-sin(-1.23161012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332734815675414-0.332719774457138)×R²
    abs(1.54764280-1.54759487)×1.50412182756132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50412182756132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50412182756132e-05×40589641000000     		ar = 10324.5648373932m²