Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97819 / 102403
↖ ↑ ↗
← S 70.615349°
E 88.667908°		 ← 101.37 m → S 70.615349°
E 88.670654°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
S 70.616261°
E 88.667908°		 ← 101.37 m →
10 275 m²		 S 70.616261°
E 88.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.746303558349609 y=0.781276702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.746303558349609 × 217)
    floor (0.746303558349609 × 131072)
    floor (97819.5)     		tx = 97819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781276702880859 × 217)
    floor (0.781276702880859 × 131072)
    floor (102403.5)     		ty = 102403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97819 / 102403 ti = "17/97819/102403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97819/102403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97819 ÷ 217
    97819 ÷ 131072     		x = 0.746299743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102403 ÷ 217
    102403 ÷ 131072     		y = 0.781272888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.746299743652344 × 2 - 1) × π
    0.492599487304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.54754693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781272888183594 × 2 - 1) × π
    -0.562545776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.76728967829261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54754693} λ = 1.54754693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76728967829261))-π/2
    2×atan(0.170795272207862)-π/2
    2×0.169162989847918-π/2
    0.338325979695835-1.57079632675     		φ = -1.23247035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54754693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.667908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23247035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.615349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97819 KachelY 102403 1.54754693 -1.23247035 88.667908 -70.615349
    Oben rechts KachelX + 1 97820 KachelY 102403 1.54759487 -1.23247035 88.670654 -70.615349
    Unten links KachelX 97819 KachelY + 1 102404 1.54754693 -1.23248626 88.667908 -70.616261
    Unten rechts KachelX + 1 97820 KachelY + 1 102404 1.54759487 -1.23248626 88.670654 -70.616261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23247035--1.23248626) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23247035--1.23248626) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54754693-1.54759487) × cos(-1.23247035) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331908432416827 × 6371000     		do = 101.373378583083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54754693-1.54759487) × cos(-1.23248626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331893424287114 × 6371000     		du = 101.368794713959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23247035)-sin(-1.23248626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331908432416827-0.331893424287114)×R²
    abs(1.54759487-1.54754693)×1.50081297130011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50081297130011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50081297130011e-05×40589641000000     		ar = 10275.2379213403m²